Kosínus

Kosínus je goniometrická funkcia. V pravouhlom trojuholníku je definovaná ako pomer priľahlej odvesny a prepony. Pre označenie tejto funkcie sa obvykle používa skratka cos a jej grafom je kosínusoida.

Vlastnosti

Funkcia $y = \cos x$ má nasledujúce vlastnosti (kde k je ľubovoľné celé číslo):

Definičný obor: $ℝ$ (reálne čísla)
Obor hodnôt: $⟨ - 1; 1 ⟩$
Funkcia je rastúca: v každom intervale $(π + 2 k π, 2 π + 2 k π)$
Funkcia je klesajúca: v každom intervale $(2 k π, π + 2 k π)$
Funkcia nadobúda maximum rovné 1 v bode : $2 k π$
Funkcia nadobúda minimum rovné -1 v bode: $π + 2 k π$
Derivácia: $y^{'} = - \sin x$
Integrál: $\int \cos x d x = \sin x + c$
Taylorov rad: $\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!} + \dots = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} x^{2 n}}{(2 n)!}$ , rovnosť platí pre všetky reálne čísla
Inverzná funkcia: arkuskosínus (arccos), je to inverzná funkcia k funkcii kosínus zúženej na interval $[0, π]$
Funkcia:
- je párna
- nie je nepárna
- je ohraničená zhora aj zdola
- je periodická s periódou $2 π$
- je spojitá aj so všetkými deriváciami v celom definičnom obore

Funkcia kosínus je v komplexných číslach definovaná súčtom radu

\cos z = 1 - \frac{z^{2}}{2!} + \frac{z^{4}}{4!} - \frac{z^{6}}{6!} + \dots = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} z^{2 n}}{(2 n)!}

ktorý konverguje na celej komplexnej rovine. Pre každé dve komplexné čísla z₁,z₂ platí:

\cos z = \frac{e^{i z} + e^{- i z}}{2},

\cos (z_{1} + z_{2}) = \cos z_{1} \cos z_{2} - \sin z_{1} \sin z_{2},

\cos i z = \cosh z,

Tieto vzorce plynú priamo z príslušných definičných mocninových radov daných funkciou. Kosínus je na celej komplexnej rovine jednoznačná holomorfná funkcia.

Niekedy je výhodné definovať funkciu kosínus ako riešenie Cauchyho úlohy

y^{″} (x) + y (x) = 0, y (0) = 1, y^{'} (0) = 0 .