Kosínusová veta

V trigonometrii sa kosínusová veta používa na výpočet dĺžky strany, pričom poznáme veľkosť uhla ležiaceho oproti strane a dĺžku zvyšných dvoch strán (ktoré zvierajú tento uhol).

Kosínusová veta má tri základné varianty:

• $a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha$
• $b^2=a^2+c^2-2ac\cdot \cos \beta$
• $c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos \gamma$

Dôkaz

Trojuholník

Nech v trojuholníku ABC päta výšky na stranu c rozdeľuje stranu c na dve časti:

• $x=|A{C}_0|$
• $y=|C_{0}B|$
• $v_c=|C{C}_0|$

Potom v trojuholníku AC₀C platí Pytagorova veta:

$b^2=v_c^2+x^2$

$v_c^2=b^2-x^2$

Obdobne v trojuholníku BC₀C platí Pytagorova veta:

$a^2=v_c^2+y^2$

$v_c^2=a^2-y^2$

Keďže strana c sa skladá z častí x a y, môžeme y vyjadriť ako y = c - x a teda y² = c² - 2cx + x². V trojuholníku AC₀C platí, že kosínus α je rovný pomeru strán x ku b. Z tohto vzťahu si teda môžeme vyjadriť x ako $x=b\cdot \cos \alpha$.

Na základe predchádzajúcich výpočtov vieme, že platí nasledujúca rovnosť:

$v_c^2=v_c^2$

$b^2-x^2=a^2-y^2$

$b^2-x^2=a^2-c^2+2cx-x^2$

$b^2=a^2-c^2+2cx$

$b^2=a^2-c^2+2bc\cdot \cos \alpha$

$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha$

Analogickým spôsobom môžeme dokázať aj zvyšné tvary kosínusovej vety.

Pozri aj

• Sínusová veta
• Tangensová veta
• Kotangensová veta
• Pytagorova veta
• Herónov vzorec
• Trigonometria

Externé odkazy

• Kosínusová veta