Rad (matematika)

V matematike je (nekonečný) rad postupnosť, ktorej n-tý člen predstavuje súčet prvých n členov danej postupnosti $a_n$. Tento súčet sa označuje ako čiastočný (parciálny) súčet postupnosti $a_n$.

Ak sú členy daného (nekonečného) radu čísla, potom sa takýto rad nazýva číselným radom (alebo taktiež rad s konštantnými členmi). Ak n-tý prvok radu závisí nielen na svojom poradovom čísle $n$, ale tiež na ďalších parametroch, potom takýto (nekonečný) rad označujeme ako funkčný prípadne tiež funkcionálny rad. Funkčný rad získame z postupnosti funkcií $f_n(x)$.

Neformálne sa ako (nekonečný) rad často označuje nekonečný súčet postupnosti $a_n$, ktorý sa symbolicky zapisuje ako:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$

V prípade postupnosti funkcií nahradzujeme $a_n$ symbolom $f_n(x)$.

Súčet radu (definícia ad a)

Pre postupnosť $a_0,a_1,a_2,\dots$ definujeme tzv. k-tý čiastočný súčet ako $s_k=\sum _{n=0}^k{a}_n$, teda (konečný) súčet prvých k prvkov postupnosti. Pomocou neho je definovaný súčet nekonečného radu ako $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{s}_n$, čiže limita postupnosti čiastočných súčtov.

Podľa (ne-)existencie tejto limity sa rady delia na:

• konvergentné - u nich limita existuje a rovná sa nejakému konečnému číslu, napríklad $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$
• divergentné - limita neexistuje (napr. $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n$ - postupnosť čiastočných súčtov je oscilujúca) alebo sa rovná $\pm \mathrm{\infty }$, napr. $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}=\mathrm{\infty }$

Niektoré významné rady

• geometrický rad je taký rad, v ktorom je každý nasledujúci prvok konštantným násobkom predchádzajúceho prvku. Napríklad:

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}.$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}=2$

Všeobecne sa dá povedať, že geometrický rad $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^n$ konverguje práve vtedy, ak je |z| < 1.

• harmonický rad je rad tvaru

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$