Sínus

Graf funkcie sínus

Šablóna:Iné významy Sínus patrí medzi goniometrické funkcie. V pravouhlom trojuholníku je definovaný ako pomer dĺžky protiľahlej odvesny k uhlu a dĺžky prepony trojuholníka. Graf funkcie sínus sa nazýva sínusoida alebo sínusovka.

Pôvod slova

Latinské slovo „Sinus“ znamená „ohyb, zakrivenie, alebo prsia“. V tomto význame bolo slovo prevzaté od arabských matematikov, ktorí si slovo „jiba“ (جيب) „vrecko, záhyb látky“ požičali od indických matematikov (Sanskrit „jiva“ ‘tetiva‘ - odvodené od zakriveného priebehu vlákna, ktoré je navinuté na palici vo forme závitu.).

Vlastnosti

Funkcia $y=\sin x$ má nasledujúce vlastnosti (kde k je ľubovoľné celé číslo):

• Definičný obor: $ℝ$ (reálne čísla)
• Obor hodnôt: $⟨-1;1⟩$
• Funkcia je rastúca: v každom intervale $⟨-\frac{\pi }{2}+2k\pi ;\frac{\pi }{2}+2k\pi ⟩$
• Funkcia je klesajúca: v každom intervale $⟨\frac{\pi }{2}+2k\pi ;-\frac{\pi }{2}+2(k+1)\pi ⟩$
• Funkcia nadobúda maximum rovné 1 v bode: $\frac{\pi }{2}+2k\pi$
• Funkcia nadobúda minimum rovné -1 v bode: $-\frac{\pi }{2}+2k\pi$
• Derivácia funkcie: $y^{\prime }=\cos x$
• Integrál: $\int \sin x\mathrm{d}x=-\cos x+c$
• Taylorov rad: $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\dots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}$, rovnosť platí pre všetky reálne čísla
• Inverzná funkcia: arkus sínus (arcsin), je to inverzná funkcia k funkcii sínus zúženej na interval $[-\pi /2,+\pi /2]$
• Sínus je funkcia:
  • nepárna
  • ohraničená zhora i zdola
  • periodická s periódou $2\pi$

Sínus v komplexnom obore

Funkcia sínus je v komplexných číslach definovaná súčtom radu

$\sin z=z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\frac{z^7}{7!}+\dots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{z}^{2n+1}}{(2n+1)!},$

ktorý konverguje na celej komplexnej rovine. Pre každé dve komplexné čísla z₁,z₂ platí:

$\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},$

$\sin (z_1+z_2)=\sin z_1\cos z_2+\cos z_1\sin z_2,$

$\sin iz=i\sinh z,$

Tieto vzorce vyplývajú priamo z príslušných definičných mocninových radov daných funkciou. Sínus je na celej komplexnej rovine jednoznačná holomorfná funkcia.

Sínus ako riešenie diferenciálnej rovnice

Niekedy je výhodné definovať funkciu sínus ako riešenie Cauchyho úlohy

$y^{″}(x)+y(x)=0,y(0)=0,y^{\prime }(0)=1.$

Pozri aj

• Sínusová veta

Externé odkazy

• Funkcia sínus
• Funkcia sínus

Iné projekty

Šablóna:Trigonomické funkcie