Cyklometrická funkcia

Arkus sínus a Arkus kosínus

Cyklometrická funkcia je matematická funkcia inverzná ku funkciám goniometrickým.

Definícia

Medzi cyklometrické funkcie patria:

• Arkus sínus ($\arcsin$)
• Arkus kosínus ($\arccos$)
• Arkus tangens ($\mathrm{arctg}$)
• Arkus kotangens ($\mathrm{arccotg}$)

Aby mohla k ľubovoľnej funkcii existovať inverzná funkcia, daná funkcia musí byť prostá, to znamená: rôznym dvom prvkom musí priraďovať dve rôzne hodnoty. Goniometrické funkcie sú ale periodické, a teda nie sú prosté. Preto ak chceme uvažovať o cyklometrických funkciách musíme najskôr ošetriť ich definičný obor a taktiež aj definičné obory goniometrických funkcií – to znamená, že musíme vybrať len tú podmnožinu definičného oboru danej goniometrickej funkcie, na ktorej je prostá.

Definičné obory cyklometrických a goniometrických funkcií

Goniometrické funkcie	Cyklometrické funkcie
Sínus: $\sin (x)$ pre $x\in ℝ$	Arkus sínus: $\arcsin (x)$ pre $x\in <-1;1>$
Cosínus: $\cos (x)$ pre $x\in ℝ$	Arkus cosínus: $\arccos (x)$ pre $x\in <-1;1>$
Tangens: $\mathrm{tg}(x)$ pre $x\in ℝ-\{\frac{\pi }{2}+k\pi \};k\in \mathbb{Z}$	Arkus tangens: $\mathrm{arctg}(x)$ pre $x\in R$
Cotangens: $\mathrm{ctg}(x)$ pre $x\in ℝ-\{k\pi \};k\in \mathbb{Z}$	Arkus cotangens: $\mathrm{arcctg}(x)$ pre $x\in R$

Vzťahy medzi cyklometrickými a goniometrickými funkciami

sin a arcsin

$\arcsin (\sin x)=x$, ak platí $|x|\le \frac{\pi }{2}$

$\sin (\arcsin x)=x$, ak platí $|x|\le 1$

cos a arccos

$\arccos (\cos x)=x$, ak platí $0\le x\le \pi$

$\cos (\arccos x)=x$, ak platí $|x|\le 1$

tg a arctg

$\mathrm{arctg}(\mathrm{tg}x)=x$, ak platí $|x|<\frac{\pi }{2}$

$\mathrm{tg}(\mathrm{arctg}x)=x$

cotg a arccotg

$\mathrm{arccotg}(\mathrm{cotg}x)=x$, ak platí $0<x<\pi$

$\mathrm{cotg}(\mathrm{arcotg}x)=x$

Vzťahy medzi cyklometrickými funkciami

$\arcsin x=\frac{\pi }{2}-\arccos x=\mathrm{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{\pi }{2}-\mathrm{arccotg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$

$\arccos x=\frac{\pi }{2}-\arcsin x=\frac{\pi }{2}-\mathrm{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=\mathrm{arccotg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$

$\mathrm{arctg}x=\arcsin \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{\pi }{2}-\arccos \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{\pi }{2}-\mathrm{arccotg}x$

$\mathrm{arccotg}x=\frac{\pi }{2}-\arcsin \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\arccos \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{\pi }{2}-\mathrm{arctg}x$

Pre $x>0$ platí

$\mathrm{arccotg}x=\mathrm{arctg}\frac{1}{x}$

Pre $x<0$ platí

$\mathrm{arccotg}x=\pi +\mathrm{arctg}\frac{1}{x}$

Vzťahy medzi cyklometrickými funkciami so vzájomne opačnými argumentmi

$\arcsin (-x)=-\arcsin x$

$\arccos (-x)=\pi -\arccos x$

$\mathrm{arctg}(-x)=-\mathrm{arctg}x$

$\mathrm{arccotg}(-x)=\pi -\mathrm{arccotg}x$

Súčty a rozdiely cyklometrických funkcií

arcsin x + arcsin y

$\arcsin x+\arcsin y=\arcsin [x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}],$ ak platí $xy\le 0$ alebo $x^2+y^2\le 1$

$\arcsin x+\arcsin y=\pi -\arcsin [x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}],$ ak platí $x>0,y>0,x^2+y^2>1$

$\arcsin x+\arcsin y=-\pi -\arcsin [x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}],$ ak platí $x<0,y<0,x^2+y^2>1$

arcsin x - arcsin y

$\arcsin x-\arcsin y=\arcsin [x\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-x^2}],$ ak platí $xy\ge 0$ alebo $x^2+y^2\le 1$

$\arcsin x-\arcsin y=\pi -\arcsin [x\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-x^2}],$ ak platí $x>0,y<0,x^2+y^2>1$

$\arcsin x-\arcsin y=-\pi -\arcsin [x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}],$ ak platí $x<0,y>0,x^2+y^2>1$

arccos x + arccos y

$\arccos x+\arccos y=\arccos [xy-\sqrt{1-x^2}\cdot \sqrt{1-y^2}],$ ak platí $x+y\ge 0$

$\arccos x+\arccos y=2\pi -\arccos [xy-\sqrt{1-x^2}\cdot \sqrt{1-y^2}],$ ak platí $x+y<0$

arccos x - arccos y

$\arccos x-\arccos y=-\arccos [xy+\sqrt{1-x^2}\cdot \sqrt{1-y^2}],$ ak platí $x\ge y$

$\arccos x-\arccos y=\arccos [xy+\sqrt{1-x^2}\cdot \sqrt{1-y^2}],$ ak platí $x<y$

arctg x + arctg y

$\mathrm{arctg}x+\mathrm{arctg}y=\mathrm{arctg}\frac{x+y}{1-xy},$ ak platí $xy<1$

$\mathrm{arctg}x+\mathrm{arctg}y=\pi +\mathrm{arctg}\frac{x+y}{1-xy},$ ak platí $x>0,xy>1$

$\mathrm{arctg}x+\mathrm{arctg}y=-\pi +\mathrm{arctg}\frac{x+y}{1-xy},$ ak platí $x<0,xy>1$

arctg x - arctg y

$\mathrm{arctg}x-\mathrm{arctg}y=\mathrm{arctg}\frac{x-y}{1+xy},$ ak platí $xy>-1$

$\mathrm{arctg}x-\mathrm{arctg}y=\pi +\mathrm{arctg}\frac{x-y}{1+xy},$ ak platí $x>0,xy<-1$

$\mathrm{arctg}x-\mathrm{arctg}y=-\pi +\mathrm{arctg}\frac{x-y}{1+xy},$ ak platí $x<0,xy<-1$

arccotg x + arccotg y

$\mathrm{arccotg}x+\mathrm{arccotg}y=\mathrm{arccotg}\frac{xy-1}{x+y},$ ak platí $x>-y$

$\mathrm{arccotg}x+\mathrm{arccotg}y=\mathrm{arccotg}\frac{xy-1}{x+y}+\pi ,$ ak platí $x<-y$

arcsin x + arccos x

$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2},$ ak platí $|x|\le 1$

arctg x + arccotg x

$\mathrm{arctg}x+\mathrm{arccotg}x=\frac{\pi }{2}$

Vyjadrenie cyklometrických funkcií v logaritmickom tvare

Cyklometrické funkcie sa dajú tiež vyjadriť použitím logaritmov a komplexných čísel:

$\begin{array}{ccc}\arcsin x& =-i\log (ix+\sqrt{1-x^2})& \\ \arccos x& =-i\log (x+\sqrt{x^2-1})=\frac{\pi }{2}+i\log (ix+\sqrt{1-x^2})=\frac{\pi }{2}-\arcsin x& \\ \mathrm{arctg}x& =\frac{i}{2}(\log (1-ix)-\log (1+ix))=\mathrm{arccotg}\frac{1}{x}\\ \mathrm{arccotg}x& =\frac{i}{2}(\log (1-\frac{i}{x})-\log (1+\frac{i}{x}))=\mathrm{arctg}\frac{1}{x}\\ \end{array}$

Pozri aj

• Goniometrické funkcie

Literatúra

• Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky I., Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5
• Bartch, Hans-Jochen: Matematické vzorce, SNTL, Praha 1987, 2. revidované vydání