Symetrická diferencia

Vennov diagram pre $A\mathrm{△}B$.
Symetrická diferencia množín je
zjednotenie množín bez ich prieniku.
$\setminus$ $=$

Vennov diagram pre $A\mathrm{△}B\mathrm{△}C$

$\mathrm{△}$ $=$

Symetrická diferencia alebo symetrický rozdiel dvoch množín je v teórii množín množina tých prvkov, ktoré patria práve do jednej z množín. Obsahuje teda všetky prvky z oboch množín, ktoré sa nenachádzajú v ich prieniku.

Symetrická diferencia množín A a B sa značí ako

$A\mathrm{△}B$

alebo

$A÷B$ Šablóna:Chýba citácia

alebo

$A\oplus B.$ Šablóna:Chýba citácia

Napríklad symetrická diferencia množín $\{1,2,3\}$ a $\{3,4\}$ je množina $\{1,2,4\}$. Symetrická diferencia množín dievčat a študentov je množina všetkých dievčat, ktoré nie sú študentky a všetkých chlapcov študentov.

Vlastnosti

Symetrická diferencia je ekvivalentná so zjednotením oboch rozdielov množín:

$A\mathrm{△}B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$

a môže byť tiež vyjadrená ako zjednotenie dvoch množín bez ich prieniku:

$A\mathrm{△}B=(A\cup B)\setminus (A\cap B)$

alebo cez prvky pomocou logickej operácie XOR:

$A\mathrm{△}B=\{x:(x\in A)\oplus (x\in B)\}.$

Z definície vyplýva, že symetrická diferencia je vždy (vlastnou alebo nevlastnou) podmnožinou zjednotenia množín:

$A\mathrm{△}B\subseteq A\cup B,$

pričom rovnosť v tejto neostrej inklúzii platí vtedy a len vtedy, ak $A$ a $B$ sú disjunktné množiny.

Symetrická diferencia je komutatívna a asociatívna:

$A\mathrm{△}B=B\mathrm{△}A,$

$(A\mathrm{△}B)\mathrm{△}C=A\mathrm{△}(B\mathrm{△}C).$

Prienik je distributívny nad symetrickou diferenciou:

$A\cap (B\mathrm{△}C)=(A\cap B)\mathrm{△}(A\cap C).$

Prázdna množina je neutrálnym prvkom symetrickej diferencie a každá množina je svojím vlastným inverzným prvkom vzhľadom na symetrickú diferenciu:

$A\mathrm{△}\varnothing =A,$

$A\mathrm{△}A=\varnothing .$

Potenčná množina každej množiny sa teda stáva abelovskou grupou so symetrickou diferenciou ako operáciou a prázdnou množinou ako neutrálnym prvkom, kde neutrálny prvok a každý ďalší prvok grupy je svojím vlastným inverzným prvkom.