Rozdiel množín

Rozdiel množín A a B zobrazený pomocou Vennovho diagramu

V matematike sa ako rozdiel dvoch množín označuje množina obsahujúca všetky prvky, ktoré sa nachádzajú v prvej z týchto množín a nenachádzajú sa v druhej z množín. Rozdiel množín A a B sa označuje symbolom A - B, prípadne A \ B.

Formálny zápis:

$x\in A-B\iff (x\in A\wedge x\notin B)$

Rozdiel nie je komutatívny, ani asociatívny.

Napríklad rozdiel množín

$A=\{0,2,4,6,8,10,12,14\}$

a

$B=\{0,3,6,9,12,15,16\}$

je

$A\setminus B=\{2,4,8,10,14\}$,

ale

$B\setminus A=\{3,9,15,16\}$.

Rozdielom množiny reálnych čísel $ℝ$ a množiny racionálnych čísel $\mathbb{Q}$ je množina iracionálnych čísel $𝕀$. Teda $ℝ\setminus \mathbb{Q}=𝕀$.

Rozdielom množiny celých čísel $\mathbb{Z}$ a množiny prirodzených čísel ${\mathbb{N}}^{+}$ je množina záporných celých čísel $\{x\in \mathbb{Z},x<0\}$. Teda $\mathbb{Z}\setminus {\mathbb{N}}^{+}=\{x\in \mathbb{Z},x<0\}$.

Vlastnosti

Pre ľubovoľné množiny $A$, $B$ a $C$ platia nasledujúce rovnosti množinových operácií:

• $C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)$
• $C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)$
• $C\setminus (B\setminus A)=(A\cap C)\cup (C\setminus B)$
• $(B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A)$
• $(B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C)$
• $A\setminus A=\varnothing$
• $\varnothing \setminus A=\varnothing$
• $A\setminus \varnothing =A$

Ďalej platí

• Ak platí $A\subset B$, potom platí aj $C\setminus A\supset C\setminus B$.
• Výraz $A\supseteq B\setminus C$ je ekvivalentný výrazu $C\supseteq B\setminus A$.
• Prienik množín $C\cap A$ je možné zapísať aj ako rozdiel $C\setminus (C\setminus A)$.

Externé odkazy

• Rozdiel množín na pohodovamatematika.sk
• Rozdiel množín na http://www.oskole.sk Šablóna:Webarchive