Arkustangens

Grafy funkcií arkustangens a arkuskotangens

Arkustangens je jedna z cyklometrických funkcií, inverzná funkcia k funkcii tangens. Obvykle sa značí arctgx alebo arctanx, v anglickej literatúre sa taktiež používa ATANx alebo tan^-1x. Jej hodnotou je uhol v oblúkovej miere z intervalu $(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$, prípadne v stupňovej miere z intervalu (-90 °;90 °), ktorého tangens je x. Je to jedna z najdôležitejších funkcií matematickej analýzy.

Definícia

Funkcia arctgx je inverzná funkcia k funkcii tg x, ktorej definičný obor bol obmedzený na interval $(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$. Vďaka tomuto obmedzeniu je predvolená funkcia prostá, takže požadovaná inverzná funkcia existuje.

Vlastnosti

Funkcia $y=\text{arctg }x$ v oblúkovej miere je bijektívne zobrazenie medzi množinou reálnych čísel $ℝ$ a intervalom $(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$, čo okrem iného dokazuje, že každý interval má rovnakú mohutnosť ako množina reálnych čísel.

Ďalej má táto funkcia nasledujúce vlastnosti:

Definičný obor	$ℝ$
Obor hodnôt	$(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$
Ohraničenosť	Je ohraničená
Monotónnosť	Je rýdzo rastúca, a teda prostá
Symetria	Je nepárna
Periodicita	Nie periodická
Limity	$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\text{arctg }x=-\frac{\pi }{2}$ $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\text{arctg }x=\frac{\pi }{2}$ $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 0}\frac{\text{arctg }x}{x}=1,$ Takže v okolí nuly je $\text{arctg }x\approx x$
Inverzné funkcie	$x=\text{tg }y$ (Tangens)
Derivácia	$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\text{arctg }x=\frac{1}{1+x^2}$
Integrál	$\int \text{arctg }x\mathrm{d}x=x\text{arctg }x-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C$

Vzorce

$\text{arctg }x=\frac{\pi }{2}-\text{arccotg }x=\arcsin \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

$\text{arctg }(-x)=-\text{arctg }x$

$\text{arctg }\frac{1}{x}=\{\begin{array}{cc}\frac{\pi }{2}-\text{arctg }x=\text{arccotg }x& \text{pokiaľ }x>0\\ -\frac{\pi }{2}-\text{arctg }x=-\pi +\text{arccotg }x& \text{pokiaľ }x<0\end{array}$

$\frac{1}{2}\text{arctg }x=\text{arctg}\frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}$

$2\text{arctg }x\equiv \text{arctg}\frac{2x}{1-x^2}(\mathrm{mod}\pi ),x\ne \pm 1$

$\text{arctg }x+\text{arctg }y\equiv \text{arctg}\frac{x+y}{1-xy}(\mathrm{mod}\pi ),xy\ne 1$

Externé odkazy

• Cyklometrické funkcie