Sigma-algebra

Sigma-algebra alebo $\sigma$-algebra je v matematike teoretický koncept výberu podmnožín danej množiny, ktorý umožňuje napríklad zaviesť koncept miery, čo sa využíva predovšetkým v matematickej analýze na zavedenie pojmu integrál a v teórii pravdepodobnosti na budovanie teórie pravdepodobnostných priestorov.

Definícia

$\sigma$-algebra je usporiadaná dvojica $(\mathrm{\Omega },S)$, kde $\mathrm{\Omega }$ je ľubovoľná množina a $S\subseteq 2^{\mathrm{\Omega }}$, pričom platí:

• $\mathrm{\Omega }\in S$,
• ak $M\in S$, potom aj $\mathrm{\Omega }\mathrm{\setminus }M\in S$,
• ak $M_1,M_2,\dots \in S$ je postupnosť množín z $S$, potom $\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{M}_i\in S$.

($2^{\mathrm{\Omega }}$ je zápis pre potenčnú množinu množiny $\mathrm{\Omega }$.)

Keďže triviálna $\sigma$-algebra (v ktorej $\mathrm{\Omega }=\mathrm{\varnothing }$) má veľmi jednoduché vlastnosti a v niektorých vetách spôsobuje nutnosť ju explicitne vynechať, niekedy sa zvykne v už v definícii vyradiť (podmienkou $\mathrm{\Omega }\ne \mathrm{\varnothing }$).

Na $\sigma$-algebrách je postavená celá moderná pravdepodobnosť a teória miery.

Príklady

• najjednoduchšia $\sigma$-algebra nad ľubovoľnou množinou $\mathrm{\Omega }$: $(\mathrm{\Omega },\{\mathrm{\varnothing },\mathrm{\Omega }\})$,
• $(\{1,2,3\},\{\mathrm{\varnothing },\{1,2\},\{3\},\{1,2,3\}\})$,
• $(\mathrm{\Omega },S)$, kde $\mathrm{\Omega }$ je ľubovoľná nespočítateľná množina a $S$ je systém všetých jej spočítateľných podmnožín a podmnožín, ktoré majú spočítateľný komplement,
• Borelova $\sigma$-algebra ($\sigma$-algebra borelovských množín) je $\sigma$-algebra nad ľubovoľným topologickým priestorom generovaná všetkými jeho otvorenými množinami.

Vlastnosti

Nie je ťažké ukázať, že každá $\sigma$-algebra je uzavretá nielen na nekonečné spočítateľné zjednotenie z definície, ale aj na spočítateľný (konečný i nekonečný) prienik a konečné zjednotenie, teda pre ľubovoľnú $\sigma$-algebru $(\mathrm{\Omega },S)$ platia nasledujúce tvrdenia:

• ak $M_1,M_2\dots ,\in S$, potom $\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\cap }}{M}_i\in S$,
• ak $M_1,M_2,\dots ,M_n\in S$, potom $\underset{i=1}{\overset{n}{\cap }}{M}_i\in S$,
• ak $M_1,M_2,\dots ,M_n\in S$, potom $\underset{i=1}{\overset{n}{\cup }}{M}_i\in S$.

Z týchto uzáverových vlastností vyplýva, že každá $\sigma$-algebra je uzavretá na ľubovoľnú množinovú operáciu vyjadrenú pomocou spočítateľného množstva prienikov, zjednotení a komplementov.

Ľahko sa dá aj ukázať, že prienik $\sigma$-algebier (teda $(\mathrm{\Omega },S_1\cap S_2)$ pre $\sigma$-algebry $(\mathrm{\Omega },S_1)$ a $(\mathrm{\Omega },S_2)$) je znova $\sigma$-algebra.

Sigma-algebra generovaná množinou

Ak máme danú nejakú množinu $\mathrm{\Omega }$, je zrejmé, že s ľubovoľnou množinou $S\subseteq 2^{\mathrm{\Omega }}$ nemusia tvoriť $\sigma$-algebru. Má však zmysel sa pýtať, ako vyzerá najmenšia $\sigma$-algebra obsahujúca celú množinu $S$.

Formálne, nech je daná (neprázdna) množina $\mathrm{\Omega }$ a množina $S\subseteq 2^{\mathrm{\Omega }}$. Nech $S_{\sigma }=\bigcap \{T\supseteq S|T\subseteq 2^{\mathrm{\Omega }};(\mathrm{\Omega },T)je\sigma -algebra\}$ (teda $S_{\sigma }$ je prienik všetkých systémov $T$ podmnožín množiny $\mathrm{\Omega }$, ktoré obsahujú $S$, a súčasne $(\mathrm{\Omega },T)$ je $\sigma$-algebra). Potom hovoríme, že $\sigma$-algebra $(\mathrm{\Omega },S_{\sigma })$ je $\sigma$-algebra generovaná množinou (systémom množín) $S$.

Významným príkladom $\sigma$-algebry generovanej množinou je $\sigma$-algebra borelovských množín.

Pozri aj

• Sigma okruh