Usporiadaná dvojica

Usporiadaná dvojica je, voľne povedané, matematický objekt obsahujúci dva jednoduchšie objekty a informáciu o tom, ktorý z týchto objektov je prvý, a ktorý je druhý. Usporiadaná dvojica sa často označuje symbolom $(a,b)$ kde $a$ je prvý objekt usporiadanej dvojice a $b$ je druhý objekt usporiadanej dvojice.

V matematike má množstvo javov prirodzenú štruktúru usporiadanej dvojice. Tak napríklad, karteziánske súradnice bodu v rovine tvoria usporiadanú dvojicu, prvým objektom je v nej x-ová súradnica a druhým objektom y-ová súradnica bodu. V tomto príklade je dôležité, že dvojica súradníc je usporiadaná - nebyť usporiadanosti nebolo by možné rozoznať, ktorý objekt v dvojici je x-ová a ktorý je y-ová súradnica. Jav usporiadanej dvojice je bežný aj v každodennom živote. Napríklad, informáciu o tom, kto je koho potomkom v množine žijúcich ľudí možno formalizovať pomocou usporiadaných dvojíc. Usporiadanú dvojicu $(a,b)$ potom možno interpretovať ako tvrdenie "človek $b$ je potomkom človeka $a$". Aj tu je podstatný fakt, že dvojica je usporiadaná - keby usporiadaná nebola, nebolo by jasné či $(a,b)$ znamená, že $a$ je potomkom $b$ alebo, že $b$ je potomkom $a$.

Formálna definícia

V matematike sa pojem usporiadanej dvojice definuje rôzne, v závislosti od toho v akom kontexte sa definícia ďalej používa. Pre ktorúkoľvek zvolenú definíciu je podstatné hlavne to, aby platila základná vlastnosť usporiadaných dvojíc

$(a,b)=(a^{\prime },b^{\prime })\iff a=a^{\prime }\wedge b=b^{\prime },$

ktorá hovorí, že usporiadané dvojice sa zhodujú vtedy, keď sa zhodujú na prvej aj na druhej súradnici. (T.j. usporiadaná dvojica je jednoznačne určená prvým a druhým prvkom.)

Pre svoju jednoduchosť je populárna napríklad Kuratowského definícia, podľa ktorej je usporiadaná dvojica špeciálnou dvojprvkovou množinou:

$(a,b){=}_{{}_{𝑑𝑒𝑓}}\{\{a\},\{a,b\}\}$

Ak pri tejto definícii máme rovnosť $(a,b)=(a^{\prime },b^{\prime })$, tak to znamená, že $\{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{a^{\prime }\},\{a^{\prime },b^{\prime }\}\}$. V prípade, že $a=b$ máme na ľavej strane rovnosti množinu $\{\{a\}\}$ a dostaneme $\{a^{\prime }\}=\{a^{\prime },b^{\prime }\}=\{a\}$, z čoho vyplýva, že $a^{\prime }=b^{\prime }=a$. Ak $a\ne b$, tak množina $\{\{a\},\{a,b\}\}$ obsahuje jednu jednoprvkovú a jednu dvojprvkovú množinu. Pretože $\{a^{\prime }\}$ je rovná niektorému z prvkov tejto množiny a máme tu iba jednu jednoprvkovú množinu, dostávame $\{a^{\prime }\}=\{a\}$ a $a^{\prime }=a$. Potom musí platiť aj $\{a,b\}=\{a^{\prime },b^{\prime }\}$, z čoho už vieme odvodiť aj $b=b^{\prime }$. Teda pri Kuratowského definícii usporiadané dvojice z rovnosti $(a,b)=(a^{\prime },b^{\prime })$ skutočne vyplýva $a=a^{\prime }$ a $b=b^{\prime }$.

Pozri aj

• Neusporiadaná dvojica
• Karteziánsky súčin