Sústava lineárnych rovníc

Lineárny systém s troma premennými definovanými ako roviny. Riešenie systému je prienik rovín (bod).

Sústava lineárnych rovníc označuje v matematike a lineárnej algebre množinu lineárnych rovníc. Môže to byť napríklad

$3x_1+2x_2+x_3=1$

$2x_1+2x_2+4x_3=-2$

$-x_1+3x_2-x_3=0$

Úlohou pri riešení je nájsť také hodnoty x₁, x₂ a x₃ pre ktoré platia všetky rovnice zároveň.

Použitie

Riešenie sústav lineárnych rovníc patrí v matematike k najstarším problémom a má veľa aplikácii, napríklad pri odhadovaní, v predpovediach a v lineárnom programovaní.

Zápis

Všeobecne môže byť sústava m lineárnych rovníc s n neznámymi zapísaná ako

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n = b₂

    :

    :

a_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n = b_m,

kde premenné x₁, … ,x_n sú premenné a a_ij sú koeficienty sústavy rovníc. Čísla $b_i$, kde $i=1,2,...,m$, sú absolútne členy sústavy (alebo tiež tzv. pravá strana sústavy). Vo všeobecnosti môžu byť koeficienty aj absolútne členy komplexnými číslami.

Koeficenty je možné zapísať v tvare matice:

$𝐀=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$

Túto maticu označujeme ako "maticu sústavy"

Premenné a pravú stranu sústavy je možné vyjadriť ako vektory

$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$

$\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right)$

Celú sústavu rovníc je možné vyjadriť ako

$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right)$

alebo skrátene v maticovom zápise:

$𝐀\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{b}$

prípadne pomocou notácie podľa sumy:

$\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j=b_i$

pre $i=1,2,...,m$.

Metódy riešenia

• Gaussova eliminačná metóda
• Cramerovo pravidlo
• Pomocou inverznej matice
• Metóda najmenších štvorcov
• LU rozklad
• Choleského rozklad

Súvisiace články

• Sústava rovníc
• Rovnice

Externé odkazy

• Online výpočet sústavy lineárnych rovníc