Matica (matematika)

Matica je určitá množina čísel alebo iných matematických objektov (tzv. prvkov matice) usporiadaných do pravidelných riadkov a stĺpcov (prípadne aj ich viacrozmerných ekvivalentov) a vyznačujúcich sa tým, že každý výpočtový úkon vykonávaný s maticou sa týka každého prvku tvoriaceho maticu.

Najčastejšie sa možno stretnúť s dvojrozmernou maticou. Ak treba zdôrazniť, že má $m$ riadkov a $n$ stĺpcov, hovorí sa o matici typu $m$ krát $n$. Ak treba zdôrazniť, že objekty v tejto tabuľke pochádzajú z množiny $A$ hovorí sa o matici nad množinou $A$. Príkladom matice typu $2\times 5$ nad množinou celých čísel môže byť

$\left(\begin{array}{ccccc}3& 0& -6& 4& 11\\ 6& -1& 4& 1& 13\end{array}\right).$

Prvky matice A zvyčajne označujeme ako $a_{ij}$, pričom i je číslo riadku a j stĺpca.

Matice sú obzvlášť dôležité v lineárnej algebre kde reprezentujú lineárne zobrazenia a slúžia k efektívnemu zápisu lineárnych rovníc. Pomocou matíc nad množinou $\{0,1\}$ sa reprezentujú konečné binárne relácie.

Všeobecne možno akúkoľvek maticu zapísať v tvare:

$A_{m,n}=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \cdots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& \cdots & a_{2,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m,1}& a_{m,2}& \cdots & a_{m,n}\end{array}\right]$.

Matice podľa tvaru

Štvorcová matica je matica, v ktorej sa počet riadkov rovná počtu stĺpcov. Špeciálnym prípadom je štvorcová matica, ktorá obsahuje len jeden prvok, má teda jeden riadok a jeden stĺpec. Takáto matica sa niekedy nazýva singleton (podobne ako jednoprvková množina).

Obdĺžniková matica je matica, v ktorej je počet riadkov a počet stĺpcov rozdielny.

Riadková matica je obdĺžniková matica, ktorá má len jeden riadok, označuje sa aj ako vektorová matica.

Stĺpcová matica je obdĺžniková matica, ktorá má len jeden stĺpec, označuje sa aj ako vektorová matica.

Operácie s maticami

Ak prvky dvoch matíc pochádzajú z vhodnej algebraickej štruktúry a ak sú splnené obmedzujúce podmienky týkajúce sa typu matíc, možno s maticami vykonávať rôzne operácie. Pre operáciu s maticami však neplatia všetky pravidlá platné pri počítaní s číslami, preto sa treba riadiť definíciami, ktoré maticové operácie určujú. Napríklad nie je jedno, v akom poradí sa násobia matice.

Sčítavanie matíc

Sčítavanie matíc môže prebiehať len vtedy, ak tieto dve matice majú rovnaký rozmer. Sčítavajú sa čísla na rovnakých pozíciách. Napríklad:

$\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 1& 0& 0\\ 1& 2& 2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 5\\ 7& 5& 0\\ 2& 1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1+0& 3+0& 2+5\\ 1+7& 0+5& 0+0\\ 1+2& 2+1& 2+1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 7\\ 8& 5& 0\\ 3& 3& 3\end{array}\right]$

Skalárne násobenie

Každý prvok v matici A sa vynásobí číslom c. Napríklad:

$2\left[\begin{array}{ccc}1& 8& -3\\ 4& -2& 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2\times 1& 2\times 8& 2\times -3\\ 2\times 4& 2\times -2& 2\times 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2& 16& -6\\ 8& -4& 10\end{array}\right]$

Sčítanie a skalárne násobenie nemenia rozmer matíc.

Násobenie matíc

Násobenie môže prebiehať len vtedy, ak je počet stĺpcov ľavej matice rovnaký ako počet riadkov pravej matice. Ak A je m-krát-n matica a B je n-krát-r matica, tak ich maticový produkt AB má rozmery m-krát-r (m počet riadkov (ako v prvej matici) -krát- r počet stĺpcov (ako v druhej matici)). Výsledná hodnota na pozícií [i,j] je:

$(AB)[i,j]=A[i,1]B[1,j]+A[i,2]B[2,j]+...+A[i,n]B[m,j]$

pre každé i a j.

Napríklad:

$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ -1& 3& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 1\\ 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}(1\times 3+0\times 2+2\times 1)& (1\times 1+0\times 1+2\times 0)\\ (-1\times 3+3\times 2+1\times 1)& (-1\times 1+3\times 1+1\times 0)\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{cc}5& 1\\ 4& 2\end{array}\right]$

Pričom nie je jedno, v akom poradí sa to vykonáva, napríklad:

$\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ -1& 3& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}(3\times 1+1\times -1)& (3\times 0+1\times 3)& (3\times 2+1\times 1)\\ (2\times 1+1\times -1)& (2\times 0+1\times 3)& (2\times 2+1\times 1)\\ (1\times 1+0\times -1)& (1\times 0+0\times 3)& (1\times 2+0\times 1)\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}2& 3& 7\\ 1& 3& 5\\ 1& 0& 2\end{array}\right]$

Dokonca ani rozmer matíc nemusí byť rovnaký pri vymenenom poradí. Aj v prípade, že oba súčiny majú rovnaké rozmery, môžeme dostať rôzne výsledky.

$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 2\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$

Vidíme teda, že násobenie matíc nie je komutatívne. Násobenie matíc je však asociatívne,

$A(BC)=(AB)C.$

Pre sčitovanie a násobenie matíc platí distributívnosť, teda

$A(B+C)=AB+AC\text{a}(B+C)A=BA+CA$

(pre ľubovoľné matice takých rozmerov, že uvedené súčiny existujú).

Transpozícia matice

Transpozícia matice je operácia, pri ktorej sa riadky matice zamenia za stĺpce. Ak máme maticu $A$ rozmeru $m\times n$, jej transpozícia $A^T$ bude mať rozmer $n\times m$, kde každý riadok matice $A$ sa stane stĺpcom v matici $A^T$.

Formálne, ak matica $A$ vyzerá takto:

$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \cdots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& \cdots & a_{2,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m,1}& a_{m,2}& \cdots & a_{m,n}\end{array}\right]$

Potom jej transpozícia $A^T$bude:

$A^T=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{2,1}& \cdots & a_{m,1}\\ a_{1,2}& a_{2,2}& \cdots & a_{m,2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{1,n}& a_{2,n}& \cdots & a_{m,n}\end{array}\right]$

Riadková ekvivalencia a stupňovitý tvar

Matice A a B sú riadkovo ekvivalentné vtedy (označujeme $A\approx B$), ak jedna vznikla z druhej konečným počtom nasledujúcich operácií nazývaných elementárne riadkové operácie:

1. vzájomná výmena dvoch riadkov matice
2. vynásobenie niektorého riadka nenulovým prvkom z A (predpokladáme, že A je okruh, alebo pole)
3. prirátanie ľubovoľného násobku niektorého riadku matice k inému

$\approx$ je reláciou ekvivalencie. Analogicky môžeme definovať aj stĺpcovú ekvivalenciu a elementárnu stĺpcovú operáciu.

Vedúcim prvkom riadku sa nazýva prvý nenulový prvok daného riadku.

Matica A je v stupňovitom tvare ak platí:

• ak $a_{ij}$ a $a_{st}$ sú vedúce prvky A a $i<s$, tak potom nutne $j<t$
• nad nenulovým riadkom v A nie je žiaden nulový.

Ak navyše platí, že:

• vedúci prvok každého riadku je 1
• ak stĺpec obsahuje vedúci prvok niektorého riadku, všetky jeho ostatné prvky sú nulové

tak sa A nazýva redukovaná stupňovitá matica.

Každá matica je riadkovo ekvivalentná s práve jednou redukovanou stupňovitou maticou.

Hodnosť matice

Hodnosť matice je počet lineárne nezávislých riadkov matice. Hodnosť matice sa rovná maximálnemu počtu lineárne nezávislých riadkov matice. To je ekvivalentné s počtom nenulových riadkov matice v stupňovitom tvare (špeciálne redukovanom stupňovitom tvare).

Regulárna a singulárna matica

Štvorcová matica s rozmermi $n\times n$ sa označuje ako regulárna, ak má hodnosť rovnú práve $n$. V opačnom prípade sa nazýva singulárna.

$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]⟹$hodnosť matice = 2; jedná sa o regulárnu maticu.

$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 0\end{array}\right]⟹$hodnosť matice = 1; jedná sa o singulárnu maticu.

$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right]⟹$hodnosť matice = 1 (druhý riadok je dvojnásobkom prvého); jedná sa o singulárnu maticu.

Externé odkazy

• Šablóna:Filit
• Operace s maticemi v R (determinant, stopa, inverzní, adjungovaná, transponovaná)
• Operácie s maticami