Cramerovo pravidlo

Cramerovo pravidlo je metóda na riešenie sústav lineárnych rovníc pomocou determinantov. Je pomenované po švajčiarskom matematikovi Gabrielovi Cramerovi, ktorý ju publikoval v roku 1750.

Definícia

Cramerovo pravidlo poskytuje vzorec na riešenie sústavy lineárnych rovníc s neznámymi v tvare $Ax=b$, kde $A$ je matica sústavy, $x$ je vektor neznámych a $b$ je vektor pravých strán. Ak je determinant matice $A$ nenulový, potom má sústava jednoznačné riešenie dané vzorcom:

$x_i=\frac{det(A_i)}{det(A)};i=1,2,...,n$

kde $A_i$ je matica vzniknutá z $A$ nahradením $i$-teho stĺpca vektorom $b$.

Príklad

Majme sústavu troch rovníc:

$\{\begin{array}{c}1x_1+2x_2+3x_3=6\\ 4x_1+5x_2+6x_3=12\\ 7x_1+8x_2+7x_3=18\end{array}$

Prepis do tvaru $Ax=b$ teda bude vyzerať následovne:

$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 7\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}6\\ 12\\ 18\end{array}\right]$

Determinant matice sústavy je $det(A)=6$. Kedže je determinant nenulový, pokračujeme nahradením prvého stĺpca vektorom pravých strán $b$:

$det(A_1)=\left|\begin{array}{ccc}6& 2& 3\\ 12& 5& 6\\ 18& 8& 7\end{array}\right|=-12$

$x_1$ následovne vypočítame podielom determinantov:

$x_1=\frac{det(A_1)}{det(A)}=\frac{-12}{6}=-2$

Podobne môžeme vypočítať $x_2$ a $x_3$:

$det(A_2)=\left|\begin{array}{ccc}1& 6& 3\\ 4& 12& 6\\ 7& 18& 7\end{array}\right|=24$

$x_2=\frac{det(A_2)}{det(A)}=\frac{24}{6}=4$

$det(A_3)=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 6\\ 4& 5& 12\\ 7& 8& 18\end{array}\right|=0$

$x_3=\frac{det(A_3)}{det(A)}=\frac{0}{6}=0$

Koreň tejto sústavy rovníc teda bude $\left[\begin{array}{ccc}-2& 4& 0\end{array}\right]$.