Ortonormálna báza

Ortonormálna báza unitárneho priestoru je pojem z lineárnej algebry a fukcionálnej analýzy, označuje podpriestor tohto vektorového priestoru, ktorého prvky sú normované a navzájom ortogonálne.

Tento pojem je dôležitý pre konečno rozmerné ako aj nekonečno rozmerné priestory a špeciálne pre Hilbertové priestory.

Konečno rozmerné priestory

Nech $V$ je konečnorozmerný euklidovský vektorový priestor so skalárnym súčinom $⟨\cdot ,\cdot ⟩$, ktorý indukuje normu: $\Vert \cdot \Vert$. Pod ortonormálnou bázou priestoru $V$ potom rozumieme bázu $B=\{b_1,\dots ,b_n\}$ z $V$ s týmito vlastnosťami:

• $\Vert b_i\Vert =1$ pre všetky $i\in \{1,\dots ,n\}$.
• $⟨b_i,b_j⟩=0$ pre všetky $i,j\in \{1,\dots ,n\}$ s $i\ne j$.

Napríklad nasledujúca množina je ortonormálnou bázou euklidovského vektorového priestoru ${ℝ}^3$ (spolu s prirodzene definovaným skalárnym súčinom).

$\overrightarrow{i}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right),\overrightarrow{j}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right),\overrightarrow{k}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

Každý z týchto vektorov má dĺžku 1 a všetky sú na seba kolmé pretože ich skalárny súčin je nula.

Všeobecný prípad

Vo všeobecnom prípade unitárneho priestoru $V$ nekonečnej dimenzie, nazývame ortonormálnym systémom $S$ vo $V$ taký systém, ktorého lineárny obal leží husto vo $V$.

Úplný ortonormálny systém $S$ má preto tú vlastnosť, že pre každý prvok $v\in V$ môžeme písať fourierov rozvoj:

$v=\sum _{u\in S}⟨v,u⟩u$.

Je dôležité zdôrazniť, že v zmysle tohto odseku, v protiklade k prípadu s konečnou dimenziou, nie je ortonormálna báza žiadnou bázou v bežnom zmysle lineárnej algebry. To znamená, že prvok $v$ sa nedá vo všeobecnosti napísať ako lineárna kombinácia konečného počtu bázových vektorov (prvkov z $S$), ale len ako suma spočítateľného nekonečného počtu prvkov z $S$, teda ako nekonečný rad. Inými slovami: Lineárny obal nie je rovný priestoru $V$, leží ale husto v tomto priestore.

Pozri aj

• Gramov-Schmidtov ortogonalizačný proces

Šablóna:Lineárna algebra