Lineárny obal

Lineárny obal množiny vektorov vo vektorovom priestore je množina všetkých ich lineárnych kombinácií. Ak je daná podmnožina $S$ vektorového priestoru $V$, jej lineárny obal sa označuje ako $\mathrm{span}(S)$ alebo $⟨S⟩$.

Definícia

Ak $S=\{v_1,v_2,\dots ,v_n\}$ je konečná množina vektorov vo $V$, potom:

$\mathrm{span}(S)=\{\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{v}_i\mid {\alpha }_i\in 𝕂\}$

kde $𝕂$ je pole skalárov, nad ktorým je definovaný priestor $V$.

Vlastnosti

• Lineárny obal $S$ je vždy vektorový podpriestor $V$.
• Ak $S$ obsahuje bázu $V$, potom $\mathrm{span}(S)=V$.
• Najmenší podpriestor obsahujúci $S$ je práve $\mathrm{span}(S)$.

Príklady

• V Euklidovskom priestore ${ℝ}^2$ množina dvoch lineárne nezávislých vektorov generuje celý priestor ${ℝ}^2$.
• Ak $S$ obsahuje len jeden vektor $v\ne 0$, potom $\mathrm{span}(S)$ je priamka prechádzajúca bodom $v$ a nulovým vektorom.

Súvisiace pojmy

• Lineárna nezávislosť
• Báza (vektorový priestor)
• Vektorový priestor