Gramov-Schmidtov ortogonalizačný proces

Gramov-Schmidtov ortogonalizačný proces (iné názvy: Gramov-Schmidtov proces ortogonalizácie, Gramova-Schmidtova ortogonalizácia) je proces, ktorým z množiny lineárne nezávislých vektorov priestoru vytvárame jeho ortonormálnu bázu. Ortonormálna báza sa vyznačuje vlastnosťou, že jej vektory majú normovanú jednotkovú dĺžku a navzájom sú ortogonálne. Vektorový priestor dimenzie n môže byť všeobecne generovaný ľubovoľnou n-ticou lineárne nezávislých vektorov. Tieto však majú rôznu orientáciu a nejednotnú dĺžku (normu). Na odstránenie respektíve normalizáciu sa využíva práve spomínaný Gram-Schimdtov ortogonalizačný proces.

Postup ortogonalizácie

V prvom kroku Gramovho-Schmidtovho ortogonalizačného procesu sa pokladá za základ prvý vektor z množiny vektorov, ktoré normalizujeme. Podľa tohto vektora sa odvíja orientácia zvyšných. Ďalším krokom je samotná ortogonalizácia vektorov, a nakoniec normalizácia vektorov. Pre zjednodušenie výpočtov sa vektory normalizujú až na koniec procesu. Tento proces možno popísať ako rekurentný proces.

Vlastnosti a vzťahy

Nech $ℳ=\text{span}({𝐱}_1,{𝐱}_2,\cdots ,{𝐱}_n)$ je vektorový priestor, ktorý je generovaný lineárne nezávislými vektormi ${𝐱}_1,{𝐱}_2,\cdots ,{𝐱}_n$. To, že vektory sú lineárne nezávislé znamená, že existuje len triviálna nulová kombinácia koeficientov $c_1,c_2,\cdots ,c_n$, že systém $𝐗𝐜=0$ má riešenie. Hľadáme také vektory ${𝐲}_1,{𝐲}_2,\cdots ,{𝐲}_n$ s vlastnosťou

$({𝐪}_i,{𝐪}_j)=\{\begin{array}{cc}1;& i=j\\ 0;& i\ne j\end{array}$

Odtiaľ vyplýva, že vektory musia byť ortogonálne a musia mať jednotkovú dĺžku. Tieto už budú priamo tvoriť bázu konkrétneho vektorového priestoru.

Proces ortogonalizácie

Ortogonalizácia

Najprv teda položíme ${𝐱}_1={𝐲}_1$. Postupujeme ďalšími vektormi, pričom sú dané rekurentným vzťahom

${𝐲}_k={𝐱}_k-\frac{⟨{𝐲}_1,{𝐱}_k⟩}{⟨{𝐲}_1,{𝐲}_1⟩}{𝐲}_1-\frac{⟨{𝐲}_2,{𝐱}_k⟩}{⟨{𝐲}_2,{𝐲}_2⟩}{𝐲}_2-\cdots -\frac{⟨{𝐲}_{k-1},{𝐱}_k⟩}{⟨{𝐲}_{k-1},{𝐲}_{k-1}⟩}{𝐲}_{k-1}$

čo možno ekvivalentne prepísať do sumačného zápisu

${𝐲}_k={𝐱}_k-\sum _{i=1}^{k-1}\frac{⟨{𝐲}_i,{𝐱}_k⟩}{⟨{𝐲}_i,{𝐲}_i⟩}{𝐲}_i$

Treba poznamenať vlastnosť $k\le n$, kde $n=\dim ℳ$. Samotný ortogonalizačný proces využíva k ortogonalizácii operátor projekcie, ktorý je definovaný

${\text{proj}}_{𝐲}(𝐱)=\frac{⟨𝐲,𝐱⟩}{⟨𝐲,𝐲⟩}𝐲$

Ortogonálnou projekciou vektora $𝐱$ na priestor generovaný vektorom $𝐲$ nazývame vektor ${𝐲}^{\prime }$ a platí ${𝐲}^{\prime }\in \text{span}(𝐲)$. Týmto spôsobom sa nájde ortogonálna projekcia daného vektora. Vektor ortogonálny na priestor generovaný vektorom $𝐲$ je potom rozdiel $𝐱-{𝐲}^{\prime }$. Platí teda, že skalárny súčin $⟨𝐱-{𝐲}^{\prime },𝐲⟩$ je nulový.

Normalizácia

Ortogonalizované vektory sa následne normalizujú na spoločnú jednotkovú dĺžku. Po tomto, dostaneme výsledný ortonormálny vektor ${𝐪}_i$, preto môžeme písať

${𝐪}_i=\frac{{𝐲}_i}{\Vert {𝐲}_i\Vert }$

Ide o symbolický zápis súčinu každej zložky vektora ${𝐲}_i$ prevrátenou hodnotu normy tohto vektora. Odtiaľ

${𝐪}_i=(\frac{q_1}{\Vert {𝐲}_i\Vert },\frac{q_2}{\Vert {𝐲}_i\Vert },\cdots ,\frac{q_n}{\Vert {𝐲}_i\Vert })$

Pod normou vektora $\Vert {𝐪}_i\Vert$ sa chápe norma definovaná nasledovne

$\Vert {𝐲}_i\Vert =\sqrt{⟨{𝐲}_i,{𝐲}_i⟩}$

Príklad

Majme vektorový priestor ${ℝ}^2$ generovaný dvojicou lineárne nezávislých vektorov $\{(1,1{)}^T,(1/2,2{)}^T\}$. Postupujeme najprv voľbou ${𝐲}_1=(1,1{)}^T$. Teraz od tohto vektora bude závisieť druhý. Použijeme vzťah pre ortogonalizáciu ďalších vektorov a dostávame rovnosť

${𝐲}_2=\left(\begin{array}{c}1/2\\ 2\end{array}\right)-\frac{(1,1)\left(\begin{array}{c}1/2\\ 2\end{array}\right)}{(1,1)\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1/2\\ 2\end{array}\right)-\frac{5}{4}\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3/4\\ 3/4\end{array}\right)$

Výsledný vektor je ortogonálny vektor k vektoru $(1,1{)}^T$. Teraz ho treba znormalizovať. Vektory generujú obyčajný euklidovský dvojrozmerný priestor, stačí preto použiť euklidovskú normu

$\Vert \left(\begin{array}{c}-3/4\\ 3/4\end{array}\right)\Vert =\sqrt{\frac{9}{16}+\frac{9}{16}}=\frac{3}{2\sqrt{2}}$

Výsledný ortonormálny vektor bázy bude mať tvar

${𝐪}_2=(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2})$

Podobným spôsobom sa znormalizuje vektor $(1,1{)}^T$, ktorého norma je $\Vert (1,1{)}^T\Vert =\sqrt{2}$ a odtiaľ

${𝐪}_1=(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2})$

Ľahko možno skalárnym súčinom overiť, že vektory sú skutočne ortogonálne.

Použitie ortogonalizácie na iné priestory

Gram-Schmidtov proces sa však nemusí používať výlučne pre euklidovské priestory ${ℝ}^n$. Môže sa použiť taktiež na ortogonalizáciu funkcií v priestore funkcií so skalárnym súčinom

$⟨f(x),g(x)⟩=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)\text{d}x$

Pomocou ortogonalizačného procesu možno vytvoriť Legendrove polynómy, ktoré sú prvky priestoru funkcií so skalárnym súčinom

$⟨P_1(x),P_2(x)⟩=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{P}_1(x)P_2(x)\text{d}x$

Šablóna:Lineárna algebra

Externé odkazy

• EUKLIDOVSKÉ PRIESTORY