Vektorový priestor

Vektorový priestor (niekedy sa používa aj pomenovanie lineárny priestor) je abstraktný pojem, ktorý má mnohé použitia v matematike. Je predmetom skúmania algebraickej disciplíny lineárna algebra.

"Vektory" nemusia byť vektormi tak, ako ich chápeme v geometrii, môže to byť ľubovoľný matematický objekt spĺňajúci nasledujúce axiómy vektorového priestoru; napríklad polynómy stupňa ≤n s reálnymi koeficientami z vektorového priestoru.

Definícia

Nech F je pole. Nech V je množina, na ktorej je daná binárna operácia "+", a nech je každému $c\in F$, $\alpha \in V$ priradený prvok $c.a\in V$, pričom:

1) $(V,+)$ je komutatívna grupa

pre ľubovoľné $\alpha$, $\beta$ $\in$ V a c,d $\in$ F platí:

2) $c.(\alpha +\beta )=c.\alpha +c.\beta$ (distributívny zákon)

3) $(c+d).\alpha =c.\alpha +d.\alpha$

4) $(c.d).\alpha =c(d.\alpha )$ (asociativita)

5) $1.\alpha =\alpha$

potom $V$ je vektorový priestor nad poľom $F$.

Vektorové priestory vo fyzike

Bra-Ket formalizmus

Vektory $\mid {\alpha }_i⟩$ tvoria vektorový priestor (alebo lineárny priestor), ak ich ľubovoľná lineárna kombinácia

$\sum _i{\lambda }_i\mid {\alpha }_i⟩$

patrí taktiež do tohoto priestoru.

Pri aplikáciách v kvantovej mechanike môžu byť koeficienty ${\lambda }_i$ komplexné čísla. Priestoru ket-vektorov je antilineárne priradený duálny priestor bra-vektorov:

$\sum _i{\lambda }_i\mid {\alpha }_i⟩\to \sum _i⟨{\alpha }_i\mid {\lambda }_i^{*}$,

kde hviezdička $*$ označuje komplexné združenie. V konkrétnom prípade vlnovej mechaniky sú ket-vektory $\mid {\alpha }_i⟩$ vlnové funkcie ${\varphi }_i$ a bra-vektory $⟨{\alpha }_i\mid$ sú komplexne združené vlnové funkcie ${\psi }_i^{*}$. Skalárny súčin

$⟨{\alpha }^{\text{'}}\mid \alpha ⟩$

je definovaný pre ľubovoľnú dvojicu ket-vektor $\mid \alpha ⟩$ a bra-vektor $⟨{\alpha }^{\text{'}}\mid$. Skalárny súčin je komplexné číslo a má tú vlastnosť, že

$⟨\alpha \mid {\alpha }^{\text{'}}⟩=⟨{\alpha }^{\text{'}}\mid \alpha {⟩}^{*}$.

Dôsledkom toho je, že $⟨\alpha \mid \alpha ⟩$ je reálne číslo. Taktiež požadujeme, aby bolo kladné:

$⟨\alpha \mid \alpha ⟩>0$.

Za týmto požiadavkom sa skrýva predstava, že $⟨\alpha \mid \alpha ⟩$ zodpovedá druhej mocnine dĺžky vektoru $\mid \alpha ⟩$. V konkrétnom vyjadrení vlnovej mechaniky zodpovedá skalárny súčin integrálu

$\int {\psi }^{\text{'}*}\psi ,dx$, ktorý má zjavne vlastnosť $⟨\alpha \mid {\alpha }^{\text{'}}⟩=⟨{\alpha }^{\text{'}}\mid \alpha {⟩}^{*}$, rovnako ako

$\int {\psi }^{*}\psi ,dx$ má vlastnosť $⟨\alpha \mid \alpha ⟩>0$, pretože ${\psi }^{*}\psi =\mid \psi {\mid }^2$ je kladné.

Vzťah medzi ket-vektormi a fyzikálnymi stavmi zodpovedá tzv. paprskovej reprezentácii. To znamená, že $\mid \alpha ⟩$ a $\lambda \mid \alpha ⟩$ vyjadrujú rovnaký fyzikálny stav pre ľubovoľné nenulové komplexné číslo $\lambda$.

Pozri aj

• Vektor (matematika)
• Vektorový podpriestor

Šablóna:Lineárna algebra