Kotangensová veta

V trigonometrii je kotangensová veta tvrdením o vzťahu polovičných uhlov trojuholníka a jeho strán založené na všeobecne platných konštantných vzťahoch (pomeroch) uhlov a dĺžok strán ľubovoľného trojuholníka. Kotangensová veta znie

$\frac{\text{cot}(\alpha /2)}{s-a}=\frac{\text{cot}(\beta /2)}{s-b}=\frac{\text{cot}(\gamma /2)}{s-c}=\frac{1}{r}$

kde $s$ je polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter)

$s=\frac{a+b+c}{2}$

a $r$ je polomer vpísanej kružnice

$r=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}$.

Dôkaz

Trojuholník so zvýraznenými segmentami na jeho stranách, ktoré vytvára vpísaná kružnica.

Vpísaná kružnica sa dotýka každej strany trojuholníka a rozdeľuje tak každú stranu na dve časti. Týchto šesť úsečiek je tvorených troma pármi rovnako dlhých dvojíc, ktoré vždy vychádzajú z jedného vrcholu trojuholníka. Pre obvod trojuholníka teda platí

$\begin{array}{cc}p& =2(s-a)+2(s-b)+2(s-c)\\ & =2((s-a)+(s-b)+(s-c))\\ \end{array}$.

Ak sa zoberie z každého páru jedna úsečka tak ich súčet je rovný polovičnému obvodu trojuholníka

$s=(s-a)+(s-b)+(s-c)$.

Každá strana trojuholníka je tak tvorená dvoma segmentami

$\begin{array}{cc}a& =(s-b)+(s-c)\\ b& =(s-a)+(s-c)\\ c& =(s-a)+(s-b)\\ \end{array}$.

Ak sa zoberie každý z týchto šiestich segmentov tak v spojení so stredom vpísanej kružnice sa vytvorí šesť pravouhlých trojuholníkov kde jednu z odvesien tvorí polomer vpísanej kružnice a tak platí

$\begin{array}{cc}\text{cot}(\alpha /2)& =\frac{s-a}{r}\\ \text{cot}(\beta /2)& =\frac{s-b}{r}\\ \text{cot}(\gamma /2)& =\frac{s-c}{r}\\ \end{array}$.

Pozri aj

• sínusová veta
• kosínusová veta
• tangensová veta
• trigonometria