Herónov vzorec

Herónov vzorec je vzorec na výpočet obsahu všeobecného trojuholníka (v euklidovskej rovine), pomocou dĺžok jeho strán.

Vzorec

Ak sú $a,b,c$ dĺžky strán trojuholníka, platí pre jeho obsah $S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, kde $s=\frac{a+b+c}{2}$ je polovičný obvod trojuholníka.

Dôkaz

Označme $x$ vzdialenosť vrcholu $B$ od päty kolmice z vrcholu $A$ na stranu $a$ (výška). Pre ostrouhlý trojuholník na obrázku platí:

$x^2+v^2=c^2$

$(a-x{)}^2+v^2=b^2$

Odčítame od druhej rovnice prvú, dostaneme:

$a^2-2ax=b^2-c^2$

Z tohto vzťahu vyjadríme $x$:

$x=\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}$

Toto platí aj v pravouhlom trojuholníku, v tupouhlom sa namiesto $-$ dáva $+$ (viď. nižšie). Ak do prvej rovnice dosadíme $x$, získame výšku $v$:

$v^2=c^2-x^2$

$v^2=c^2-{\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}\right)}^2$

$v^2=c^2-\frac{{(a^2+c^2-b^2)}^2}{4a^2}$

$v^2=\frac{4c^2{a}^2-{(a^2+c^2-b^2)}^2}{4a^2}$

$v=\frac{\sqrt{4c^2{a}^2-{(a^2+c^2-b^2)}^2}}{2a}$

Ak dosadíme túto výšku do vzorca pre obsah trojuholníka $S=\frac{av}{2},$, dostaneme:

$S=\frac{\sqrt{4c^2{a}^2-{(a^2+c^2-b^2)}^2}}{4}$

Ďalej pomocou rozkladov upravíme výraz pod odmocninou:

$S=\frac{\sqrt{(2ac+a^2+c^2-b^2)(2ac-a^2-c^2+b^2)}}{4}$

$S=\frac{\sqrt{[{(a+c)}^2-b^2][b^2-{(a-c)}^2]}}{4}$

$S=\frac{\sqrt{(a+c+b)(a+c-b)(b+a-c)(b-a+c)}}{4}$

Dosadíme polovičný obvod $s$, $a+b+c=2s$ a dostávame výsledný vzorec:

$S=\frac{\sqrt{2s(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)}}{4}$

$S=\frac{\sqrt{16s(s-a)(s-b)(s-c)}}{4}$

$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

História

Vzorec bol formulovaný Herónom z Alexandrie a dôkaz bol publikovaný v jeho knihe Métrika, napísanej v roku 60 pred Kr.

Poznámky

• Kratší dôkaz je možný pomocou kosínusovej vety.
• Obsah trojuholníka je symetrická kvadraticky homogénna funkcia jeho strán.

Pozri aj

• Trojuholník
• Obsah
• Tetivový štvoruholník

Externé odkazy

• Dôkaz Herónoveho vzorca Šablóna:Webarchive
• Herónov vzorecŠablóna:Nedostupný zdroj