Pytagorova veta

Ilustrácia Pytagorovej vety

Pytagorova veta je základná teoréma euklidovskej geometrie. Popisuje vzťah, ktorý platí medzi dĺžkami strán pravouhlého trojuholníka v rovine. Umožňuje jednoducho vypočítať dĺžku tretej strany trojuholníka, ak sú známe dĺžky jeho dvoch zvyšných strán. Slovne sa veta dá formulovať takto:

Obsah štvorca zostrojeného nad preponou (najdlhšou stranou) pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu obsahov štvorcov zostrojených nad jeho odvesnami.

Formálne možno Pytagorovu vetu vyjadriť rovnicou

$a^2+b^2=c^2$,

kde $a$, $b$ sú dĺžky odvesien a $c$ je dĺžka prepony pravouhlého trojuholníka.

Dejiny

Pytagorova veta je pomenovaná podľa starogréckeho matematika Pythagora zo Samosu, ktorý ju v 6. storočí pred Kr. odvodil pre Európu resp. staroveké Grécko. Pravdepodobne bola ale známa aj v iných starovekých civilizáciách a navyše oveľa skôr (napríklad v Číne, Egypte).

Starí Egypťania a Indovia stavali pozoruhodné stavby. Pri týchto stavbách potrebovali vytyčovať aj pravé uhly. Často to robili takto: Na napnutom špagáte uviazali 13 uzlov tak, aby vzdialenosti medzi uzlami boli rovnaké (napr. po 50 cm). Špagát napli tak, že uzol 1 a 13 upevnili na tom istom mieste a uzly 4 a 8 tiež upevnili (pozri obrázok). Potom uhol 1, 4, 8 je pravý.

Pravý uhol

Zovšeobecnenie Pytagorovej vety

Nahradenie štvorcov inými plošnými obrazcami

Štvorce je možné vo formulácii vety nahradiť akýmikoľvek inými plošnými útvarmi (kružnicou, trojuholníkom, päťuholníkom a pod.) za predpokladu, že sú si navzájom podobné a ich šírka je priamo úmerná dĺžke príslušnej strany trojuholníka. Súčet obsahov týchto obrazcov nad odvesnami bude opäť rovný obsahu obrazca zostrojeného nad preponou.

Fakt, že to vyplýva už z formulácie pôvodnej vety so štvorcami nad stranami trojuholníka, je možné si uvedomiť vtedy, ak sa vezme do úvahy, že obsah každého z obrazcov je vzhľadom na platnosť predpokladov úmerný obsahu štvorca nad danou stranou a konštanta úmernosti $k$ je vždy rovnaká vďaka vzájomnej podobnosti obrazcov i štvorcov. Ak sa dosadí za plochu štvorcov do vzorca $k$-násobok plochy obrazca, potom bude možné rovnicu krátiť konštantou $k$ a výsledkom bude hľadané zovšeobecnenie.

Zovšeobecnenie na tri všeobecné vektory v Unitárnom priestore

Pytagorovu vetu je možné zovšeobecniť na ľubovolný vektorový priestor so skalárnym súčinom tj. unitárny priestor. Trojuholníkom sú v tomto prípade myslené tri vektory $𝐚$, $𝐛$, $𝐜$, pre ktoré platí

$𝐜=𝐛-𝐚𝐚\perp 𝐛.$

Potom platí podobný vzťah normami týchto vektorov, ako v prípade rovinného trojuholníka:

$\Vert 𝐚{\Vert }^2+\Vert 𝐛{\Vert }^2=\Vert 𝐜{\Vert }^2,$

kde $\Vert \cdot \Vert$ je norma indukovaná skalárnym súčinom príslušného vektorového priestoru. Z tejto všeobecnejšej formulácie je možné odvodiť aj pôvodnú rovinnú verziu vety. Ak rovinu chápeme ako dvojrozmerný euklidovský priestor s obyčajným skalárnym súčinom a v trojuholníku $ABC$ s pravým uhlom pri vrchole $C$ označíme

$𝐚=B-C,𝐛=A-C,𝐜=A-B,$

potom vyplýva pôvodná Pythagorova veta zo vzťahu noriem vektorov (treba si uvedomiť, že v tomto prípade je norma vektoru len dĺžkou zodpovedajúcej strany).

Dôkazy Pytagorovej vety

Dôkazov Pytagorovej vety jestvuje veľmi veľa, uvádza sa až viac ako 300. Tu sú uvedené len niektoré z nich.

Dôkaz číslo 1

K dôkazu č. 1 – porovnanie obsahov štvorcov zložených dvomi spôsobmi

Ide o grafický dôkaz. Štvorec so stranou $a+b$ je možné zložiť dvomi spôsobmi (pozri obrázok):

• Zo štyroch pravouhlých trojuholníkov a dvoch štvorcov so stranami $a$ a $b$
• Zo štyroch pravouhlých trojuholníkov a jedného štvorca so stranou $c$.

Z rovnosti obsahov štvorca pri oboch spôsoboch zloženia vyplýva platnosť Pytagorovej vety.

Dôkaz číslo 2

Ide v podstate o zápis prvého dôkazu pomocou rovníc.

Obsah celého štvorca je možné vyjadriť dvomi spôsobmi:

• Strana štvorca je zložená zo strán trojuholníka $a$ a $b$. Pre jeho obsah teda platí:

$S=(a+b)(a+b)=(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$.

• Štvorec je tvorený štyrmi modrými pravouhlými trojuholníkmi a bielym štvorcom uprostred so stranou $c$. Obsah celého štvorca je teda súčtom obsahov štyroch pravouhlých trojuholníkov ($\begin{array}{c}4\frac{ab}{2}=2ab\end{array}$) a bieleho štvorca so stranou c ($c^2$). Obsah celého obrazca je daný vzorcom

$S=2ab+c^2$.

Pretože ide v oboch prípadoch o ten istý štvorec, musí sa jeho obsah spočítaný obidvomi spôsobmi rovnať. Preto platí

$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$

a po úprave dostaneme Pytagorovu vetu v známom tvare

$a^2+b^2=c^2$.

Dôkaz číslo 3

K dôkazu číslo 3 – podobnosť trojuholníkov

Je možné sa jednoducho presvedčiť, že ak sú zelenou farbou vyznačené uhly ($DCB$ a $DAC$, ktorý sa rovná uhlu $BAC$) zhodné, potom sú si trojuholníky navzájom podobné (veľkosti ich strán sú v rovnakom pomere a ich uhly sú zhodné).

Dôkaz podobnosti (rovnosti uhlov)

Súčet vnútorných uhlov každého trojuholníka je 180° ($\pi$ $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$). Zároveň platí, že v pravouhlom trojuholníku musí byť práve jeden uhol pravý (t. j. 90°; pozri obrázok):

1. $\mathit{|}𝐵𝐴𝐶\mathit{|}\mathit{+}\mathit{|}𝐴𝐶𝐵\mathit{|}\mathit{+}\mathit{|}𝐶𝐵𝐴\mathit{|}=180^{\circ }$
2. $\mathit{|}𝐶𝐵𝐷\mathit{|}\mathit{+}\mathit{|}𝐵𝐷𝐶\mathit{|}\mathit{+}\mathit{|}𝐷𝐶𝐵\mathit{|}=180^{\circ }$
3. $\mathit{|}𝐷𝐴𝐶\mathit{|}\mathit{+}\mathit{|}𝐴𝐶𝐷\mathit{|}\mathit{+}\mathit{|}𝐶𝐷𝐴\mathit{|}=180^{\circ }$

z uvedeného vyplýva, že

1. $\mathit{|}𝐵𝐴𝐶\mathit{|}\mathit{+}\mathit{|}𝐶𝐵𝐴\mathit{|}=90^{\circ }$
2. $\mathit{|}𝐶𝐵𝐷\mathit{|}\mathit{+}\mathit{|}𝐷𝐶𝐵\mathit{|}=90^{\circ }$
3. $\mathit{|}𝐷𝐴𝐶\mathit{|}\mathit{+}\mathit{|}𝐴𝐶𝐷\mathit{|}=90^{\circ }$

Z 1. a 3. rovnice vyplýva (uhly $BAC$ a $DAC$ sú zhodné), že platí |$CBA$| = |$ACD$|. Ak $CBA$ dosadíme do 3. rovnice na miesto $ACD$, z porovnania s 2. rovnicou vyplynie, že platí |$BCD$| = |$DAC$|. Trojuholníky sú si teda podobné.

Samotný dôkaz

Skrátene je popísaný už v samotnom obrázku. Pri podobnosti trojuholníkov platí, že

$a/p=c/a\Rightarrow a^2/p=c\Rightarrow a^2=cp$

a rovnako platí aj

$b/q=c/b\Rightarrow b^2/q=c\Rightarrow b^2=cq.$

Z oboch rovníc potom vyplýva, že

$a^2+b^2=cp+cq\Rightarrow a^2+b^2=c(p+q).$

Zo spomínaného obrázka vyplýva, že $c=p+q$, čo po dosadení dá:

$a^2+b^2=c^2.$

Pytagorejské čísla

Pytagorejské trojice, vyznačené dĺžky odvesien pravouhlého trojuholníka v bodovom grafe.

Viac informácií v samostatnom článku Pytagorejské čísla.

Pytagorejské čísla tvoria trojice prirodzených čísel $a$, $b$ a $c$, pre ktoré platí $a^2+b^2=c^2$. Sú to teda prirodzené čísla, ktoré vyhovujú Pytagorovej vete. Pytagorejské čísla sú napríklad 3, 4, 5.

Základné pytagorejské trojice

• Pytagorejské čísla, ktoré nemajú spoločného deliteľa, napríklad 7, 24, 25, sú základné pytagorejské trojice.
• Pytagorejská trojica 6,8,10, nie je základná, lebo má spoločného deliteľa 2 (trojuholník so stranami 6, 8, 10 má koeficient podobnosti rovný 2), so základnou pytagorejskou trojicou 3,4,5.
• Základné Pytagorejské čísa do 100 sú:

(3, 4, 5)	(5, 12, 13)	(8, 15, 17)	(7, 24, 25)
(20, 21, 29)	(12, 35, 37)	(9, 40, 41)	(28, 45, 53)
(11, 60, 61)	(16, 63, 65)	(33, 56, 65)	(48, 55, 73)
(13, 84, 85)	(36, 77, 85)	(39, 80, 89)	(65, 72, 97)

• Euklidov vzorec pre generovanie pytagorejských čísel a, b, c je s použitím ľubovoľných celých čísel m a n, kde m > n > 0:

$a=m^2-n^2,b=2mn,c=m^2+n^2$

Použitie pytagorejských čísel

Ľahko zapamätateľná postupnosť pytagorejských čísel 3,4,5 ich predurčila pre požitie v stavebníctve, stolárstve a kedykoľvek, ak potrebujeme pomocou jednoduchých pomôcok overiť pravouhlosť veľkorozmerných telies. V takom prípade použijeme pravouhlý trojuholník, kde si na dvoch odvesnách vyznačíme dĺžky 3 a 4, a kontrolujeme ich preponu, či je 5. Užitočne sa využívajú aj podobné trojuholníky a pravouhlosť kontrolujeme napríklad pomocou rozmerov: 30 cm, 40cm a preponu 50cm, alebo trojice 60cm, 80 cm a 1 m, ...

Externé odkazy

• Dôkazy Pytagorovej vety (po nemecky)