Fourierov rad

Fourierov rad je pomenovaný po francúzskom fyzikovi a matematikovi Josephovi Fourierovi. Slúži na zápis periodického priebehu pomocou funkcií sínus a kosínus. Základná myšlienka zápisu funkcie vo forme radu z funkcií sínus a kosínus je rozklad vektora do ortogonálnej bázy. Lineárnym priestorom je v tomto prípade priestor (istých) funkcií definovaných na intervale $[-\pi ,\pi ]$ a skalárnym súčinom je integrál:

$(f,g)=\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(t)g(t)dt$

Vzhľadom na tento skalárny súčin tvoria funkcie

$[-\pi ,\pi ]\ni t\mapsto 1,\sin nt,\cos nt,n\in \mathbb{N}$

ortogonálnu množinu a pre každú integrovateľnú funkciu $f:[-\pi ,\pi ]\to ℝ$ vieme nájsť jej súradnice voči uvažovanej ortogonálnej množine. Súradnica zodpovedajúca prvku $e$ je určená vzťahom

$f_e=\frac{(f,e)}{(e,e)}.$

Keďže $(1,1)=2\pi ,(\sin nt,\sin nt)=(\cos nt,\cos nt)=\pi$, tak funkcii $f$ priraďujeme jej Fourierov rad

$f(t)\sim \frac{a_0}{2}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}[a_k\cos (kt)+b_k\sin (kt)],$

ktorého koeficienty sa zadávajú vzorcami

$a_k=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)\cos (kx)dx,k=0,1,2,\dots$,

$b_k=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)\sin (kx)dx,k=1,2,\dots$.

Ak sa dve integrovateľné funkcie líšia v konečnom počte bodov tak je jasné, že majú rovnaký Fourierov rad. Z toho dôvodu nepíšeme medzi funkciou $f$ a jej Fourierovým radom znak rovnosti. Ak je však funkcia vybraná z lepšej množiny ako len z množiny integrovateľných funkcií, tak sa jej Fourierov rad môže rovnať. Napríklad platí nasledujúce tvrdenie: Ak je funkcia $f$ ohraničená a po častiach spojitá a má aj ohraničenú po častiach spojitú prvú deriváciu, tak jej Fourierov rad má v každom bode súčet a ten je rovný aritmetickému priemeru pravej a ľavej limity tejto funkcie v tomto bode. Teda v bode spojitosti je to hodnota funkcie. Fourierov rad spojitej funkcie nemusí (v niektorom bode) vôbec konvergovať.

V praxi sa funkcia f aproximuje konečným rozvojom, kde sčítame len niekoľko prvých členov, pričom sa genericky s narastajúcim počtom členov zvyšuje presnosť tejto aproximácie.

Pozri aj

• Fourierova transformácia

Externé odkazy

• Fourierove rady
• Fourierove rady