Fourierova transformácia

Fourierova transformácia pri spracovaní signálov slúži na transformáciu z časovej oblasti, do oblasti frekvenčnej. Je vyjadrením časovo závislého signálu pomocou harmonických signálov, t. j. funkcií sínus a kosínus. Signál môže byť buď v spojitom alebo diskrétnom čase.

Definícia

Fourierova transformácia $S(\omega )$ funkcie $s(t)$ je definovaná integrálnym vzťahom

$S(i\omega )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}s(t)e^{-ı\omega t}dt$

Funkciu $s(t)$ vypočítame z $S(\omega )$ pomocou inverznej Fourierovej transformácie

$s(t)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}S(i\omega )e^{ı\omega t}d\omega$

Nevlastné integrály chápeme v zmysle Cauchyho hlavnej hodnoty, t. j.

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[.]d=\underset{T\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-T}{\overset{T}{\int }}[.]d$

Dvojice vo Fourierovej transformácii sa nazývajú originál (v tomto prípade $s(t)$) a obraz ($S(\omega )$). Vzťah medzi originálom a obrazom vyjadrujeme zápisom

$S(\omega )=ℱ[s(t)]$ a $s(t)={ℱ}^{-1}[S(\omega )]$.

V technickej oblasti je $\omega$ uhlová rýchlosť, $S(\omega )$ predstavuje spektrum signálu $s(t)$.

Spektrum je komplexná veličina a možno ju vyjadriť v tvare $S(\omega )=|S(\omega )|e^{i\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}S(\omega )}$. Veľkosť $|S(\omega )|$ sa nazýva amplitúdové spektrum a uhol $\text{arg}S(\omega )$ fázové spektrum signálu.

Externé odkazy

• Diskrétna Fourierova transformácia .