Einsteinova sumačná konvencia

Einsteinova (sumačná) konvencia alebo Einsteinova notácia je v matematike a fyzike, špeciálne v oblasti lineárnej algebry, spôsob zapisovania rovníc výhodný pri práci so zložkami tenzorov, v rámci nich špeciálne aj vektorov a kovektorov. Túto konvenciu zaviedol A. Einstein v roku 1916.

Podľa tejto notácie, keď sa rovnaký index objaví v súčine dvakrát (raz ako horný a raz ako dolný), znamená to automatickú sumáciu cez všetky možné hodnoty tohoto indexu. V typických aplikáciách môže index nadobúdať hodnoty 1, 2, 3 v euklidovskom priestore alebo 0, 1, 2, 3 v Minkowského priestore. Počet hodnôt, ktoré index môže nadobúdať je rovný dimenzii priestoru, v ktorom pracujeme. V troch rozmeroch napríklad

$y=c_i{x}^i$

automaticky znamená

$y=\sum _{i=1}^3{c}_i{x}^i=c_1{x}^1+c_2{x}^2+c_3{x}^3.$

Dôvodom na používanie tejto konvencie je sprehľadnenie zložitých rovníc, kde treba sumovať cez viacero rôznych indexov.

Spúšťanie a dvíhanie indexov

Ak máme priestor s metrickým tenzorom $g_{ij}$, zavádza sa jeho inverzná matica vzťahom

$g^{ac}{g}_{cb}:={\delta }_b^a,$

kde ${\delta }_b^a$ je Kroneckerov symbol (rovný 1, ak $a=b$ a rovný 0, ak $a\ne b$). Potom možno zaviesť operáciu dvíhania a spúšťania indexov nasledovne:

${\mathrm{♯}}_g:{\alpha }_a\mapsto {\alpha }^a:=g^{ab}{\alpha }_b$

${\mathrm{♭}}_b:v^a\mapsto v_a:=g_{ab}{v}^b$

Veličinám $v_a,v^a$ sa niekedy zvykne hovoriť kovariantné a kontravariantné zložky (toho istého) vektora $v$. V striktnej terminológii sú však prvé z nich zložkami kovektorov.

Vzhľadom na to, že v euklidovskom priestore $g_{ab}={\delta }_{ab}$, čísla $v_a$ a $v^a$ sú rovnaké, pre každé $v$. Preto sa pri práci v ňom často ignoruje poloha indexov hore-dolu.

Zápis vektorov a kovektorov

V každom vektorovom priestore $V$si možno zvoliť bázu. Ak $\dim V=n$, tak báza má $n$ bázových prvkov $e_i$ a každý vektor možno pomocou nej jednoznačne rozpísať do komponent $v^i$. Zapisuje sa teda

$v=\sum _{i=1}^n{v}^i{e}_i=v^i{e}_i=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ ⋮\\ v_n\end{array}\right)$

K vektorovému priestoru možno priradiť duálny priestor $V^{\ast }$ lineárnych zobrazení $V\to ℝ$ (kovektorov), v ktorom existuje istá preferovaná báza $e^i$. Je to zobrazenie, pre ktoré platí

$⟨e^i,e_j⟩:=e^i(e_j)={\delta }_j^i.$

Pomocou tejto bázy možno každý kovektorov jednoznačne reprezentovať ako

$\alpha =\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{e}^i={\alpha }_i{e}^i=({\alpha }_1{\alpha }_2\cdots {\alpha }_n)$

Bežné operácie

Operácie s vektormi

Skalárny súčin dvoch vektorov $u,v$možno zapísať ako

$h(u,v)=h_{ij}{u}^i{v}^j$,

kde $h_{ij}$ je matica skalárneho súčinu. Pre bežný skalárny súčin v euklidovskom priestore možno písať zjednodušene

$h(u,v)=u_i{v}^i=u^i{v}_i$

Vektorový súčin v E3 dvoch vektorov možno zapísať ako

$(u\times v{)}_i={\epsilon }_{ijk}{u}^j{v}^k$,

kde ${\epsilon }_{ijk}$ je úplne antisymetrický Levi-Civitov tenzor, ${\epsilon }_{123}=1$.

Veľkosť vektora v priestore s metrickým tenzorom $g_{ij}$ sa počíta ako

$\Vert v\Vert =\sqrt{g_{ij}{v}^i{v}^j}=\sqrt{v_i{v}^i}$.

Operácie s operátorom $\mathrm{\nabla }$

$\mathrm{\nabla }$ (nabla) je diferenciálny operátor, so zložkami

$(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z})=({\partial }_1,{\partial }_2,{\partial }_3),$

ktoré budeme označovať ako ${\partial }_i$. Zostávajúc v E3, v Einsteinovej sumačnej konvencii možno písať

${\left(\text{grad}h\right)}_i={\left(\mathrm{\nabla }h\right)}_i={\partial }_{i}h$

${\left(\text{rot}\mathbf{\text{A}}\right)}_i={(\mathrm{\nabla }\times \mathbf{\text{A}})}_i={\epsilon }_{ijk}{\partial }_j{A}_k$

$\text{div}\mathbf{\text{A}}=\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{\text{A}}={\partial }_i{A}_i$

$\mathrm{△}\mathbf{\text{A}}={\partial }_i{\partial }_i\mathbf{\text{A}}$

Maticové operácie

Maticami možno reprezentovať všetky dvojindexové tenzory. Ak sú indexy tenzora vedľa seba, prvý z nich označuje riadok a druhý stĺpec matice. Ak sú indexy nad sebou, horný preberá úlohu prvého.

Maticové násobenie

$(\mathbf{\text{A}}\cdot \mathbf{\text{B}}{)}_j^i=A_k^i{B}_j^k$

Stopa matice

$\text{Tr}\mathbf{\text{A}}=A_i^i$

Matematické aplikácie

Einsteinovu sumačnú konvenciu možno šikovne využiť napríklad pri dôkazoch identít, kde vystupujú skalárne, vektorové a tenzorové súčiny. Uvedieme niekoľko príkladov pri práci v E3. Často sa pri tom budeme odvolávať na nasledujúce vzťahy:

${\mathbf{\text{e}}}_i\cdot {\mathbf{\text{e}}}_j={\delta }_{ij}$ (ortonormovanosť bázy)

${\mathbf{\text{e}}}_i\times {\mathbf{\text{e}}}_j={\epsilon }_{ijk}{\mathbf{\text{e}}}_k$ (pravotočivosť bázy)

${\epsilon }_{ijk}={\epsilon }_{jki}={\epsilon }_{kij}$ (vyplýva z antisymetričnosti Levi-Civitovho tenzora)

${\epsilon }_{ijk}{\epsilon }_{mnk}={\delta }_{im}{\delta }_{jn}-{\delta }_{in}{\delta }_{jm}$ (Mnemotechnická pomôcka: Davis-cupová identita. Prvý deň hrál prvý s prvým a druhý s druhým, druhý deň prvý s druhým a druhý s prvým.)

$\mathbf{\text{a}}\times (\mathbf{\text{b}}\times \mathbf{\text{c}})=(\mathbf{\text{a}}\cdot \mathbf{\text{c}})\mathbf{\text{b}}-(\mathbf{\text{a}}\cdot \mathbf{\text{b}})\mathbf{\text{c}}$

Pre $i$-tu zložku vektora vľavo dostávame ${(\mathbf{\text{a}}\times (\mathbf{\text{b}}\times \mathbf{\text{c}}))}_i$ $={\epsilon }_{ijk}{a}_j{(\mathbf{\text{b}}\times \mathbf{\text{c}})}_k$ $={\epsilon }_{ijk}{a}_j{\epsilon }_{klm}{b}_l{c}_m$ $={\epsilon }_{ijk}{\epsilon }_{lmk}{a}_j{b}_l{c}_m$ Teraz využijeme "Davis-cupovú" identitu. ${(\mathbf{\text{a}}\times (\mathbf{\text{b}}\times \mathbf{\text{c}}))}_i$ $=({\delta }_{il}\delta jm-{\delta }_{im}{\delta }_{jl})a_j{b}_l{c}_m$ $\stackrel{(1)}{=}{a}_j{b}_i{c}_j-a_j{b}_j{c}_i$ $=(\mathbf{\text{a}}\cdot \mathbf{\text{c}})b_i-(\mathbf{\text{a}}\cdot \mathbf{\text{b}})c_i$ V úprave (1) sme použili ortonormovanosť bázy, teda ${\delta }_{ij}{v}_i=v_j$. Dospeli sme k rovnosti dvoch vektorov v $i$-tej zložke. Index $i$ ale môže nadobúdať hociktorú z hodnôt 1,2,3, to znamená že vektory sa rovnajú v každej zložke. Tým dostávame dokazovanú identitu.

$(\mathbf{\text{a}}\times \mathbf{\text{b}})\cdot (\mathbf{\text{c}}\times \mathbf{\text{d}})=(\mathbf{\text{a}}\cdot \mathbf{\text{c}})(\mathbf{\text{b}}\cdot \mathbf{\text{d}})-(\mathbf{\text{a}}\cdot \mathbf{\text{d}})(\mathbf{\text{b}}\cdot \mathbf{\text{c}})$

V Einsteinovej sumačnej konvencii dostávame pre tento skalárny súčin $(\mathbf{\text{a}}\times \mathbf{\text{b}})\cdot (\mathbf{\text{c}}\times \mathbf{\text{d}})$ $={(\mathbf{\text{a}}\times \mathbf{\text{b}})}_i{(\mathbf{\text{c}}\times \mathbf{\text{d}})}_i$ $={\epsilon }_{ijk}{a}_j{b}_k{\epsilon }_{ilm}{c}_l{d}_m,$ $={\epsilon }_{jki}{\epsilon }_{lmi}{a}_j{b}_k{c}_l{d}_m$ Teraz využijeme "Davis-cupovú" identitu. $(\mathbf{\text{a}}\times \mathbf{\text{b}})\cdot (\mathbf{\text{c}}\times \mathbf{\text{d}})$ $=({\delta }_{jl}\delta km-{\delta }_{jm}{\delta }_{kl})a_j{b}_k{c}_l{d}_m$ $=a_j{b}_k{c}_j{d}_k-a_j{b}_j{c}_k{d}_j$ $=(\mathbf{\text{a}}\cdot \mathbf{\text{c}})(\mathbf{\text{b}}\cdot \mathbf{\text{d}})-(\mathbf{\text{a}}\cdot \mathbf{\text{d}})(\mathbf{\text{b}}\cdot \mathbf{\text{c}})$

$\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\times \mathbf{\text{A}}=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{\text{A}})-\mathrm{△}\mathbf{\text{A}}$

Pre $i$-tu zložku vektora vľavo platí ${(\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\times \mathbf{\text{A}})}_i$ $={\epsilon }_{ijk}{\partial }_j{(\mathrm{\nabla }\times \mathbf{\text{A}})}_k$ $={\epsilon }_{ijk}{\partial }_j{\epsilon }_{klm}{\partial }_l{A}_m,$ Keďže ${\epsilon }_{klm}$ je konštanta, možno ho vybrať pred operátor derivácie ${\partial }_j$. Ďalej využijeme "Davis-cupovú" identitu. ${(\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\times \mathbf{\text{A}})}_i$ $=({\delta }_{il}{\delta }_{jm}-{\delta }_{im}{\delta }_{jl}){\partial }_j{\partial }_l{A}_m$ $={\partial }_j{\partial }_i{A}_i-{\partial }_j{\partial }_j{A}_i$ Poradie derivácii možno zameniť, preto možno prvý člen ešte upraviť. ${(\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\times \mathbf{\text{A}})}_i$ $={\partial }_i(\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{\text{A}})-{\left(\mathrm{△}\mathbf{\text{A}}\right)}_i$ $={\left(\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{\text{A}})\right)}_i-{\left(\mathrm{△}\mathbf{\text{A}}\right)}_i$ Vidíme, že ľavá a pravá strana sa rovnajú vo všetkých zložkách. To znamená, že dokazovaná identita platí.

Fyzikálne aplikácie

Vo fyzike sa stretneme s Einsteinovou sumačnou konvenciou veľmi často, špeciálne tam, kde sa veľa narába s tenzormi. Uvedieme niekoľko príkladov:

• Hookov zákon v tenzorovom tvare

${\sigma }_{ij}=c_{ijkl}{\epsilon }_{kl},$

kde $\sigma ij$ je tenzor napätia, ${\epsilon }_{kl}$ tenzor deformácie a tenzor $c_{ijkl}$ je tenzor vyjadrúci tuhosť prostredia. Má $3^4=81$ komponent, z ktorých (vzhľadom na symetrie) je v najhoršom prípade 21 nezávislých.

• Cauchyho rovnica dynamickej rovnováhy obsahujúca divergenciu tenzora sa dá pohodlne prepísať ako

$\varrho ({\partial }_t{v}_i+v_i{\partial }_j{v}_j)={\partial }_j{\sigma }_{ij}+f_i$,

kde ${\partial }_t$ označuje parciálnu deriváciu podľa času a teda $t$ neznamená voľný index.

• Christoffelove symboly (druhého druhu) sú definované pomocou metrického tenzora predpisom

${\mathrm{\Gamma }}_{jk}^i=\frac{1}{2}{g}^{il}(g_{lj,k}+g_{lk,j}-g_{jk,l}),$

kde index za čiarkou v dolnom indexe symbolizuje deriváciu podľa príslušnej súradnice.

• Riemannov tenzor krivosti sa vyjadruje cez Christoffelove symboly vzťahom

$R_{jkl}^i={\mathrm{\Gamma }}_{jl,k}^i-{\mathrm{\Gamma }}_{jk,l}^i+{\mathrm{\Gamma }}_{jl}^m{\mathrm{\Gamma }}_{mk}^i-{\mathrm{\Gamma }}_{jk}^m{\mathrm{\Gamma }}_{ml}^i$

Referencie

• M. Fecko: Sylabus k prednáškam z teoretickej mechaniky: http://davinci.fmph.uniba.sk/~fecko1/teormech/primech13.pdf
• M. Fecko: Diferenciálna geometria a Lieove grupy pre fyzikov. Vydavateľstvo Iris, Bratislava, 2008.