Kroneckerova delta

Kroneckerova delta alebo Kroneckerov symbol (pomenovaná podľa Leopolda Kroneckera) je funkcia dvoch premenných, zvyčajne prirodzených čísel. Hodnota funkcie je 1, ak sú premenné totožné a 0, ináč:

${\delta }_{ij}=\{\begin{array}{cc}0& \text{ak }i\ne j,\\ 1& \text{ak }i=j.\end{array}$

Alebo použitím Iversonovej notácie:

${\delta }_{ij}=[i=j].$

Kroneckerova delta sa prirodzene objavuje v mnohých oblastiach matematiky, fyziky, inžinierstva a informatiky.

Vlastnosti

Nasledujúce rovnosti sú splnené:

$\begin{array}{cc}\sum _j{\delta }_{ij}{a}_j& =a_i,\\ \sum _i{a}_i{\delta }_{ij}& =a_j,\\ \sum _k{\delta }_{ik}{\delta }_{kj}& ={\delta }_{ij}.\end{array}$

Vďaka týmto formulám a faktu, že prvky $n\times n$ jednotkovej matice $\overline{\mathbf{\text{I}}}$ môžeme stotožniť s Kroneckerovou deltou ($I_{ij}={\delta }_{ij}$), môžeme považovať $\bar{\delta }$ za jednotkovú maticu.

V $n$-rozmernom Euklidovskom priestore môžeme zapísať štandardný skalárny súčin ako

$<𝐚,𝐛>=\sum _{k,l}{a}_k{\delta }_{kl}{b}_l=\sum _k{a}_k{b}_k$,

alebo využitím Einsteinovej sumačnej konvencie

$<𝐚,𝐛>=a_k{b}_k$.

Zovšeobecnenie

Kroneckerova delta je považovaná ako tenzor druhu $(1,1)$. Kroneckerov tenzor môže byť zapísaný ako ${\delta }_j^i$ s kovariantným indexom $j$ a kontravariantným indexom $i$:

${\delta }_j^i=\{\begin{array}{cc}0& (i\ne j),\\ 1& (i=j).\end{array}$

Iversonove zátvorky sú zovšeobecnením Kroneckerovej delty, pričom Kroneckerova delta je špeciálnym prípadom, kde podmienkou je rovnosť:

${\delta }_{ij}=[i=j].$