Arkussínus

Graf funkcie arkussínus

Arkussínus je cyklometrická funkcia. Ide o inverznú funkciu ku goniometrickej funkcii sínus.

Vlastnosti

• Funkcia je:
  • nepárna
  • ostro rastúca na celom svojom definičnom obore
• Definičný obor: $⟨-1,1⟩$
• Obor hodnôt: $⟨-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}⟩$
• Derivácia: ${\arcsin }^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• Taylorov polynóm:

$\begin{array}{cc}\arcsin (x)& =x+\frac{1}{2}\cdot \frac{x^3}{3}+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\cdot \frac{x^5}{5}+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\cdot \frac{x^7}{7}+\cdots \\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\cdot \frac{x^{2n+1}}{2n+1}),\left|z\right|<1\end{array}$

• Inverzné funkcie: sínus
• Graf:
  • Vznikne preklopením grafu funkcie $y=\sin (x)$ podľa osi I. a III. kvadrante.
  • Berieme len interval okolo počiatku, na ktorom je funkcia $\sin (x)$ prostá, teda v tomto prípade rastúca.
  • Interval $⟨-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}⟩$ z definičného oboru sínusu sa stane oborom hodnôt funkcie $x=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(y)$.
  • Podobne obor hodnôt sínusu sa naopak stane definičnom odborom arkussínusu.

Externé odkazy

• Cyklometrické funkcie