Báza (vektorový priestor)

Báza vektorového priestoru $V$ je množina lineárne nezávislých vektorov, ktorých lineárnym obalom je priestor $V$. Každý vektor z $V$ sa dá jednoznačne vyjadriť ako lineárna kombinácia bázových vektorov. Teda voľba bázy súčasne každému vektoru priraďuje súradnice - koeficienty takejto lineárnej kombinácie.

Definícia

Nech $V$ je vektorový priestor nad poľom $F$ a $B\subseteq V$.

• Množina $B$ je lineárne nezávislá, ak pre ľubovoľné vektory ${\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2,\dots ,{\overrightarrow{v}}_n\in B$ z rovnosti $c_1{\overrightarrow{v}}_1+c_2{\overrightarrow{v}}_2+\dots +c_n{\overrightarrow{v}}_n=\overrightarrow{0}$ vyplýva $c_1=c_2=\dots =c_n=0$.
• Množina $B$ generuje priestor $V$, ak každý vektor $\overrightarrow{v}\in V$ sa dá vyjadriť ako $\overrightarrow{v}=c_1{\overrightarrow{v}}_1+c_2{\overrightarrow{v}}_2+\dots +c_n{\overrightarrow{v}}_n$ pre nejaké ${\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2,\dots ,{\overrightarrow{v}}_n\in B$. Inak povedané, lineárny obal množiny $B$ je celý priestor $V$, t.j. $⟨B⟩=V$.

Ak $B$ je lineárne nezávislá množina a súčasne generuje priestor $V$, tak hovoríme, že $B$ je báza priestoru $V$. Ekvivalentná podmienka je, že každý vektor $\overrightarrow{v}\in V$ sa dá vyjadriť práve jedným spôsobom ako lineárna kombinácia konečne veľa vektorov z $B$. Koeficienty tejto lineárnej kombinácie voláme súradnice daného vektora vzhľadom na bázu $B$,

V prípade, že $B$ je konečná množina, tak sa uvedené definície dajú sformulovať o čosi jednoduchšie. Na miestach, kde sme v uvedených definíciách potrebovali vybrať konečnú podmnožinu z $B$ môžeme zobrať priamo celú bázu. T.j. môžeme definície sformulovať tak, že $B=\{{\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2,\dots ,{\overrightarrow{v}}_n\}$ namiesto ${\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2,\dots ,{\overrightarrow{v}}_n\in B$.

Vlastnosti

• Ak $M$ je ľubovoľná lineárne nezávislá množina v priestore $V$, tak existuje báza $B$ obsahujúca $M$.
• Ak $M$ je množina, ktorá generuje priestor $V$, tak existuje báza $B$ taká, že $B\subseteq M$.
• Ľubovoľné dve bázy daného priestoru $V$ majú rovnakú kardinalitu. Túto kardinalitu nazývame dimenzia priestoru $V$.
• Obrazy prvkov bázy jednoznačne určujú lineárne zobrazenie. T.j. ak máme bázu $B$ priestoru $V$ a zobrazenie $g:B\to W$, kde $W$ je vektorový priestor nad tým istým poľom, tak existuje práve jedno lineárne zobrazenie $f:V\to W$ také, že $f{|}_B=g$. (Opäť, v konečnorozmernom prípade je formulácia o čosi zrozumiteľnejšia. Ak máme bázu pozostávajúcu z vektorov ${\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2,\dots ,{\overrightarrow{v}}_n$ a poznáme obrazy $f({\overrightarrow{v}}_i)={\overrightarrow{w}}_i$, tak pre vektor $\overrightarrow{v}=c_1{\overrightarrow{v}}_1+c_2{\overrightarrow{v}}_2+\dots +c_n{\overrightarrow{v}}_n$ nutne musíme mať $f(\overrightarrow{v})=c_1{\overrightarrow{w}}_1+c_2{\overrightarrow{w}}_2+\dots +c_n{\overrightarrow{w}}_n$. Dá sa overiť, že tento predpis skutočne definuje lineárne zobrazenie z $V$ do $W$.)

Príklady bázy

Majme nejaký vektorový priestor $V$ a podmnožinu $W\subset V$ takú, že lineárny obal $⟨W⟩$ tejto množiny je rovný priestoru $V$, teda platí: $⟨W⟩=V$.

Príklad 1.: nech $W=(1,0),(0,1),(2,3)$ a $V=R^2$. Je zrejmé, že platí rovnosť $⟨W⟩=R^2$. Avšak vektory $(1,0),(0,1),(2,3)$ sú lineárne závislé, pretože platí: $2(1,0)+3(0,1)=(2,3)$, naproti tomu, vektory $(1,0),(0,1)$ sú lineárne nezávislé, preto vektory $(1,0),(0,1)$ tvoria bázu vektorového priestoru $R^2$ (samozrejme aj vektorového priestoru $⟨W⟩$).

Príklad 2.: Nech je daný vektorový priestor $R^3$. Vektory $(0,2,3),(1,0,7),(1,3,0)$ sú lineárne nezávislé a preto tvoria bázu vektorového priestoru $R^3$.

Nekonečnorozmerný prípad

Niektorí autori používajú v nekonečnorozmernom prípade názov Hamelova báza, na odlíšenie od niektorých iných typov báz používaných pre nekonečnorozmerné priestory. (Napríkad Schauderova báza v Banachových priestoroch alebo ortonormálna báza v Hilbertových priestoroch.) Niekedy sa však tento termín používa špecificky pre bázu $ℝ$ ako vektorového priestoru nad $\mathbb{Q}$.

Najjednoduchší príklad nekonečnorozmerného priestoru je priestor dimenzie ${\mathrm{\aleph }}_0$. Takýto priestor môžeme dostať napríklad ako priestor $c_{00}$, pozostávajúci z postupností reálnych čísel, ktoré majú iba konečne veľa nenulových členov. Priestor $c_{00}$ je vektorový priestor nad $ℝ$, jeho báza pozostáva z postupností $e_i$, $i\in \mathbb{N}$, kde $e_i$ obsahuje jedinú jednotku na $i$-tom mieste. T.j. $e_1=(1,0,0,0,\dots )$, $e_2=(0,1,0,0,0,\dots )$, atď.

Pre mnohé nekonečnorozmerné vektorové priestory nevieme explicitne popísať bázu. Tvrdenie, že každý vektorový priestor má bázu, je ekvivalentné s axiómou výberu.

Ľubovoľný nekonečnorozmerný Banachov priestor má dimenziu aspoň $𝔠$. Z toho napríklad vidíme, že ak má lineárny normovaný priestor spočítateľnú Hamelovu bázu, tak nemôže byť úplný.

Literatúra

• Šablóna:Citácia knihy
• Šablóna:Citácia knihy
• Šablóna:Citácia knihy
• Šablóna:Citácia knihy
• Šablóna:Citácia knihy
• Šablóna:Citácia periodika

Pozri aj

• Lineárny obal
• Lineárna závislosť
• Podmnožina
• Vektorový priestor

Šablóna:Lineárna algebra