Banachov priestor

Banachov priestor, pomenovaný podľa Stefana Banacha, je v matematike normovaný lineárny priestor, ktorý je navyše úplný. Banachove priestory sú jedným z centrálnych objektov záujmu funkcionálnej analýzy.

Definícia

Banachov priestor je úplný normovaný lineárny priestor. To znamená, že Banachov priestor je lineárny priestor $V$ nad poľom reálnych alebo komplexných čísel s normou $‖ . ‖$ , v ktorom má každá cauchyovská postupnosť v indukovanej metrike $d (x, y) = ‖ x - y ‖$ limitu.

Priestory $ℝ^{n}$ a $ℂ^{n}$ (všetky n-tice reálnych, resp. komplexných čísel) sú Banachove priestory v ľubovoľnej norme. Pokiaľ na priestoroch $ℝ^{n}$ a $ℂ^{n}$ definujeme euklidovskú normu

‖ x ‖ : = \sqrt{| x_{1} |^{2} + \dots + | x_{n} |^{2}},

kde

x = (x_{1}, \dots, x_{n})

, budú tieto priestory dokonca priestormi Hilbertovými.

‖ f ‖_{\infty} : = \max_{t \in [a, b]} | f (t) |

je Banachov.

‖ f ‖_{1} : = \int_{a}^{b} | f (t) | d t

alebo

‖ f ‖_{2} : = \sqrt{\int_{a}^{b} | f (t) |^{2} d t},

daný priestor už Banachov priestor nebude.

Ak X je normovaný lineárny priestor a Y je Banachov priestor, potom priestor všetkých obmedzených lineárnych operátorov z X do Y s normou

‖ A ‖ : = \sup {‖ A x ‖ : x \in X, ‖ x ‖ \leq 1}

je Banachov priestor. Špeciálne, duálny priestor X* k priestoru X je vždy Banachov, keďže v tomto prípade

Y = ℂ

.

Ak X je Banachov priestor, tak aj ľubovoľný jeho uzavretý podpriestor je Banachov priestor.