Arkuskotangens

Grafy funkcií arkustangens a arkuskotangens

Arkuskotangens je jedna z cyklometrických funkcií, inverzná funkcia k funkcii kotangens. Obvykle sa značí arccotgx, ale používajú sa aj značky arccot x a cot^-1x. Jej hodnotou je uhol v oblúkovej miere z intervalu (0;π), prípadne v stupňovej miere z intervalu (0 °;180 °), ktorého kotangens je x.

Na rozdiel od cyklometrických funkcií arcsin, arccos a arctg nebýva na kalkulačkách k dispozícii, ale s využitím funkcie arctg ju možno vypočítať podľa niektorého zo vzorcov.

Definícia

Funkcia arccotgx je inverzná funkcia k funkcii cotg x, ktorej definičný obor bol obmedzený na interval (0;π). Vďaka tomuto obmedzeniu je predvolená funkcia prostá, takže požadovaná inverzná funkcia existuje.

Vlastnosti

Funkcia $y=\text{arccotg }x$ v oblúkovej miere má nasledujúce vlastnosti:

Definičný obor	$ℝ$
Obor hodnôt	$(0;\pi )$
Obmedzenosť	Je obmedzená
Monotónnosť	Je rýdzo klesajúca, a teda prostá
Symetria	Nie párna ani nepárna, ale graf je súmerný podľa stredu $(x,y)=(0,\frac{\pi }{2})$
Periodicita	Nie periodická
Limity	$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\text{arccotg }x=\pi$ $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\text{arccotg }x=0$
Inverzné funkcie	$x=\text{cotg }y$ (Kotangens)
Derivácia	$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\text{arccotg }x=\frac{-1}{1+x^2}$
Integrál	$\int \text{arccotg }x\mathrm{d}x=x\text{arccotg }x+\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C$

Vzorce

$\text{arccotg }x=\frac{\pi }{2}-\text{arctg }x$

$\text{arccotg }(-x)=\pi -\text{arccotg }x$

$\text{arccotg }\frac{1}{x}=\{\begin{array}{cc}\frac{\pi }{2}-\text{arccotg }x=\text{arctg }x& \text{ak }x>0\\ \frac{3}{2}\pi -\text{arccotg }x=\pi +\text{arctg }x& \text{ak }x<0\end{array}$

Externé odkazy

• Cyklometrické funkcie