Hyperbolická funkcia

Grafy hyperbolických funkcií

Pojem hyperbolické funkcie označuje v matematike skupinu niekoľkých funkcií, ktoré sú analogicky podobné goniometrickým funkciám. Medzi základné hyperbolické funkcie patrí hyperbolický sínus (sinh, sh) a hyberbolický kosínus (cosh, ch), ďalej z nich odvodený hyberbolický tangens (tanh, th), hyberbolický kotangens (cotanh, coth, cth), sekans (sech), kosekans (csh). Inverzné funkcie k hyberbolickým funkciám označujeme ako hyperbolometrické funkcie.

Rovnako ako goniometrické funkcie sínus a kosínus, ktoré definujú body na jednotkovej kružnici, hyperbolický sínus a hyberbolický kosínus zase definujú body pravej časti rovnoosej hyperboly. Parametrom týchto funkcií je tzv. hyperbolický uhol.

Definície hyperbolických funkcií

Ako hyperbolické funkcie nazývame nasledujúce štyri funkcie, kde $e$ označuje Eulerovo číslo:

• Hyperbolický sínus:

$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\frac{e^{2x}-1}{2e^x}$ ; kde $x\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$

• Hyperbolický kosínus:

$\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\frac{e^{2x}+1}{2e^x}$ ; kde $x\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$

• Hyperbolický tangens:

$\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}$ ; kde $x\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$

• Hyperbolický kotangens:

$\coth x=\frac{\cosh x}{\sinh x}=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}=\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}$ ; kde $x\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })/\{0\}$

Vlastnosti

• Hyperbolické funkcie sú spojité na svojich definičných oboroch.

• Pre hyperbolický sínus a kosínus platí:

${\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1$ pre všetky $x\in ℝ$

• Pre hyperbolický sínus a kosínus ďalej platí:

$\cosh (x+y)=\cosh x\cdot \cosh y+\sinh x\cdot \sinh y$ pre všetky $x\in ℝ$

$\sinh (x+y)=\sinh x\cdot \cosh y+\cosh x\cdot \sinh y$ pre všetky $x\in ℝ$

$\cosh (2x)={\cosh }^{2}x+{\sinh }^{2}x$

$\sinh (2x)=2\cosh x\cdot \sinh x$

Monotónnosť a parita

Hyperbolický sínus je rastúca nepárna funkcia na intervale $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$, pričom limitne platí nasledovné:

• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sinh x=\mathrm{\infty }$
• $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\sinh x=-\mathrm{\infty }$

Hyperbolický kosínus je párna klesajúca funkcia na intervale $(-\mathrm{\infty },0)$ a rastúca je na intervale $x\in (0,\mathrm{\infty })$. Limitne pre túto funkciu platí nasledovné:

• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\cosh x=\mathrm{\infty }$
• $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\cosh x=\mathrm{\infty }$

Hyperbolický tangens je nepárna rastúca funkcia na intervale $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$. Limitne pre ňu platí:

• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\tanh x=1$
• $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\tanh x=-1$

Hyperbolický kotangens je nepárna klesajúca funkcia na intervale $(-\mathrm{\infty },0)$ a $(0,\mathrm{\infty })$. Pre túto funkciu limitne platí:

• $\underset{x\to 0_{+}}{\lim }\coth x=\mathrm{\infty }$
• $\underset{x\to 0_{-}}{\lim }\coth x=-\mathrm{\infty }$
• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\coth x=1$
• $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\coth x=-1$

Derivácie

Pre základné derivácie hyperbolických funkcií platia nasledovné vzťahy:

$\frac{d}{dx}\sinh x=\cosh x$

$\frac{d}{dx}\cosh x=\sinh x$

$\frac{d}{dx}\tanh x=1-{\tanh }^{2}x={\text{sech}}^{2}x=1/{\cosh }^{2}x$

$\frac{d}{dx}\coth x=1-{\coth }^{2}x=-{\text{csch}}^{2}x=-1/{\sinh }^{2}x$

$\frac{d}{dx}\text{csch}x=-\coth x\text{csch}x$

$\frac{d}{dx}\text{sech}x=-\tanh x\text{sech}x$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arsinh}x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arcosh}x=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{artanh}x=\frac{1}{1-x^2}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arcsch}x=-\frac{1}{\left|x\right|\sqrt{1+x^2}}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arsech}x=-\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arcoth}x=\frac{1}{1-x^2}$

Integrály

Pre základné integrály hyperbolických funkcií platia nasledovné vzťahy:

$\int \sinh axdx=a^{-1}\cosh ax+C$

$\int \cosh axdx=a^{-1}\sinh ax+C$

$\int \tanh axdx=a^{-1}\ln (\cosh ax)+C$

$\int \coth axdx=a^{-1}\ln (\sinh ax)+C$

$\int \frac{du}{\sqrt{a^2+u^2}}={\sinh }^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)+C$

$\int \frac{du}{\sqrt{u^2-a^2}}={\cosh }^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)+C$

$\int \frac{du}{a^2-u^2}=a^{-1}{\tanh }^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)+C;u^2<a^2$

$\int \frac{du}{a^2-u^2}=a^{-1}{\coth }^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)+C;u^2>a^2$

$\int \frac{du}{u\sqrt{a^2-u^2}}=-a^{-1}{\mathrm{sech}}^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)+C$

$\int \frac{du}{u\sqrt{a^2+u^2}}=-a^{-1}{\mathrm{csch}}^{-1}\left|\frac{u}{a}\right|+C$

kde $C$ je integračná konštatnta.

Zdroj

• Šablóna:Citácia knihy
• Šablóna:Preklad