Vektorový podpriestor

Vektorový podpriestor alebo lineárny podpriestor je v lineárnej algebre taká podmnožina iného vektorového priestoru, ktorá sama tvorí vektorový priestor.

Definícia

Nech $V (F)$ je vektorový priestor a nech $S$ je neprázdna podmnožina množiny $V$ . Potom $S$ nazývame podpriestor vektorového priestoru $V (F)$ , ak spolu s operáciami $V (F)$ tvorí vektorový priestor nad poľom $F$ .

Veta

Nech $V (F)$ je vektorový priestor a nech $S$ je neprázdna podmnožina množiny $V$ .Potom $S$ je podpriestor práve vtedy, keď pre všetky $α, β \in S$ a $c \in F$ platí

a) $α + β \in S$
b) $c . α \in S$

Veta 1

Podpriestory $A_{r}$ , $A_{s}$ majú neprázdny prienik práve vtedy, ak existujú vektory $\vec{v} \in V_{r}$ a $\vec{w} \in V_{s}$ také, že platí $A - B = \vec{v} + \vec{w}$

Špeciálny prípad vety 1.

Priamky $p [A; \vec{u}]$ a $q [B; \vec{v}]$ majú neprázdny prienik práve vtedy, keď vektor A-B je lineárnou kombináciou $\vec{u}, \vec{v}$

Dôkaz

$P = A + α . \vec{v}$ , $P = B + β . \vec{v}$
$A + α . \vec{v} = B + β . \vec{v}$
$A - B = - α . \vec{v} + β . \vec{v}$

Dôkaz vety 1 urobíme analogicky.

Veta 2

Ak $A_{r}$ a $A_{s}$ sú podpriestory $A_{n}$ s neprázdnym prienikom, tak ich prienik $A_{r} \cap A_{s}$ je afinný podpriestor so zameraním $V_{r} \cap V_{s}$ .

Dôkaz

Vetu 2 dokážeme tak, že ukážeme, že body a vektory z prieniku spĺňajú nasledujúce podmienky:

a) Ak body $M$ a $N$ patria do $A_{r} \cap A_{s}$ , tak vektor $\vec{u} = M - N$ patrí do

$V r \cap V s$ .

b) Ak bod $M$ patrí do $A_{r} \cap A_{s}$ a $\vec{u}$ patrí do $V r \cap V s$ , tak bod $X = M + \vec{u}$ patrí do $A_{r} \cap A_{s}$ .

Toto je však triviálne, lebo ak bod $X \in A_{r}$ aj $X \in A_{s}$ , tak $X \in A_{r} \cap A_{s}$ pričom analogické tvrdenie platí pre vektory.

Veta 3

Podpriestory $A_{r}$ a $A_{s}$ sú rovnobežné alebo rôznobežné, pričom ich prienik je (r − 1)-rozmerný podpriestor.

Náznak dôkazu

Môžeme predpokladať, že podpriestory nie sú rovnobežné (t. j. $V_{n} \subset̸ V_{s}$ ), pretože v opačnom prípade je už splnené tvrdenie vety. Z tohto predpokladu vyplýva, že existuje vektor $\vec{u} \in V_{r}$ a súčasne $\vec{u} \in̸ V_{n - 1}$ . Bez ujmy na všeobecnosti, môžeme vytvoriť bázu $V_{r}$ tak, aby $\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, . . ., {\vec{v}}_{r - 1}, {\vec{v}}_{r} = \vec{u}$ . Nech $\vec{w_{1}}, \vec{w_{2}}, . . .,, {\vec{w}}_{n - 1}$ . je bázou $V_{n - 1}$ . (Z predpokladu ${\vec{v}}_{r} = \vec{u}$ vyplýva, že každý z vektorov $\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, . . ., {\vec{v}}_{r - 1}$ je lineárnou kombináciou vektorov $\vec{w_{1}}, \vec{w_{2}}, . . .,, {\vec{w}}_{n - 1}$ . Pretože $\vec{w_{1}}, \vec{w_{2}}, . . .,, {\vec{w}}_{n - 1}, {\vec{v}}_{r}$ je báza $V_{n}$ pomocou nich je možné vyjadriť aj vektor (A − B). Podľa vety 1. podpriestory $A_{r}$ a $V_{n - 1}$ sú rôznobežné.

Dôsledky vety 3

Z vety 3 vyplýva hneď niekoľko dôsledkov a síce:

Dve priamky v $A_{2}$ nemôžu mať práve dva spoločné body.
Dve priamky v $A_{2}$ sú rovnobežné alebo majú práve jeden spoločný bod.
Rovina a priamka v $A_{3}$ sú rovnobežné alebo majú práve jeden spoločný bod.
Dve roviny v $A_{3}$ sú rovnobežné alebo sa pretínajú v priamke.

A mnohé ďalšie.

Literatúra

M. Lavička: KMA/G1 Geometrie 1. Pomocný učebný text. Plzeň, Západočeská univerzita v Plzni. 2005, s. 7-11
M. Billich - M. Trenkler: Zbierka úloh z geometrie. Ružomberok, Verbum. 2013, s. 9-11

Pozri aj

Externé odkazy

Šablóna:Lineárna algebra

Vektorový podpriestor

Obsah

Definícia

Veta

Veta 1

Špeciálny prípad vety 1.

Dôkaz

Veta 2

Dôkaz

Veta 3

Náznak dôkazu

Dôsledky vety 3

Literatúra

Pozri aj

Externé odkazy

Navigačné menu

Vektorový podpriestor

Definícia

Veta

Veta 1

Špeciálny prípad vety 1.

Dôkaz

Veta 2

Dôkaz

Veta 3

Náznak dôkazu

Dôsledky vety 3

Literatúra

Pozri aj

Externé odkazy

Navigačné menu

Hľadať