Obelisk (geometria)

Obelisk s podstavou päťuholníka

Obelisk je mnohosten, vykonštruovaný dvoma paralelnými mnohouholníkmi, ktorých bočné steny sú lichobežníky. Jedná sa o zrezaný ihlan s mnohouholníkovou podstavou.

Ide o 3-rozmerný priestorový útvar v euklidovskej geometrii. Najbežnejšie sú obelisky s podstavou štvorca, obdĺžnika, trojuholníka, päťuholníka či šesťuholníka, no známe sú aj obelisky s podstavou osemuholníka či desaťuholníka. Takmer všetky obelisky sú mnohosteny, s výnimkou tzv. zrezaného kužeľa, ktorého podstava je kruh, no možná je aj podstava elipsy podobne ako u eliptického valca. Žiaden obelisk s mnohouholníkovou podstavou nemožno vytvoriť rotáciou. Naopak, obelisk s kruhovou podstavou je možné vytvoriť okrem zrezania čiapky kužeľa, aj rotáciou pravouhlého lichobežníka.

Vlastnosti

Každý obelisk s podstavou mnohouholníka sa radí medzi prismatoidy. Vďaka tomu, že jeho plášť tvoria lichobežníky, spadá daný prismatoid pod skupinu obeliskov. Všeobecne platí, že mnohouholník či kruh hornej podstavy musí byť $n$-krát menší, než mnohouholník či kruh dolnej podstavy. V prípade, že sú obe podstavy rovnako veľké, ich plášť nemôže byť tvorený lichobežníkmi, ale obdĺžnikmi čo stvorcami, čo je hranol, nie obelisk. To isté platí aj v prípade kruhovej podstavy. Ak sú kruhy oboch podstáv rovnako veľké, jedná sa o valec, nie obelisk (v tomto prípade zrezaný kužeľ). Aj v prípade že dve eliptické podstavy sú rovnako veľké, vzniká eliptický valec. Obelisky sú útvary konvexné. Ďalej existujú nepravidelné obelisky, ktoré majú za podstavy nepravidelné mnohouholníky a majú teda neurčité tvary plášťa.

Druhy pravidelných obeliskov

Základný (štvorcový) obelisk

Je tvorený dvoma paralelnými štvorcami tvoriacich dolnú a hornú podstavu. Plášť tohto obelisku tvoria 4 rovnoramenné lichobežníky, ktorých dĺžka strany $a$ (dolná, najdlhšia strana) je zhodná s dĺžkou strany $a$ v dolnej podstave štvorca. Toto isté tvrdenie platí aj na hornú stranu lichobežníka $c$ ktorá je zhodná s dĺžkou strany $a$ v hornej podstave štvorca. Preto:

$a_1=A$ a $c=a$

Obvod dolnej podstavy vypočítame ako:

$O=4A$

Obvod hornej podstavy vypočítame ako:

$O_1=4a$

Objem vypočítame ako:

$V=\frac{1}{3}(A^2+Aa+a^2)h$

Obsah plášťa vypočítame ako:

$A_L=4\frac{(a_1+c)\cdot v}{2}$

Pretože obsah lichobežníka vypočítame ako $S=\frac{(a_1+c)\cdot v}{2}$, a plášť základného obelisku tvoria 4 rovnaké rovnoramenné lichobežníky, stačí iba obsah lichobežníka vynásobiť štyrmi. Povrch vypočítame ako:

$A_T=A_L+(S_1+S_2)$

kde:

$a$ je strana hornej štvorcovej podstavy

$a_1$ je dolná, najdlhšia strana rovnoramenného lichobežníka

$c$ je horná, najkratšia strana rovnoramenného lichobežníka

$A$ je strana dolnej štvorcovej podstavy

$h$ je výška

$S$ je obsah lichobežníka

$S_1$je obsah dolnej podstavy

$S_2$ je obsah hornej podstavy

Obdlžníkový obelisk

Je tvorený dvoma paralelnými obdlžníkmi tvoriacich dolnú a hornú podstavu. Plášť tohto obelisku tvoria 4 rovnoramenné lichobežníky, niesu však všetky rovnaké. Sú to 2 paralelné predné lichobežníky ktorých horná, najkratšia strana $c$ je rovnako dlhá ako najdlhšia strana hornej podstavy $a$. Ďalej sú tu 2 bočné lichobežníky ktorých horná, najkratšia strana $c_1$je rovnako dlhá ako bočná, najkratšia strana hornej obdlžníkovej podstavy, $b$. Ďalej najdlhšia, dolná strana predných lichobežníkov $a_1$ je rovnako dlhá ako najdlhšia strana dolnej podstavy $A$. To isté platí aj pre bočné lichobežníky, ktorých najdlhšie, dolné strany $a_2$ sú rovnako dlhé ako bočné strany dolnej podstavy, $B$. Preto:

$c=a$, $c_1=b$, $a_1=A$ a $a_2=B$

Obvod dolnej podstavy vypočítame ako:

$O=2(A+B)$

Obvod hornej podstavy vypočítame ako:

$O_1=2(a+b)$

Objem vypočítame ako:

$V_1=\frac{h}{6}(Ab+aB+2(ab+AB))$

Alebo ako:

$V_2=\frac{1}{6}h[AB+ab+(A+a)(B+b)]$

Obsah plášťa vypočítame ako:

$A_L=2\frac{(a_1+c)}{2}+2\frac{(a_2+c_1)}{2}$

Povrch vypočítame ako:

$A_T=A_L+AB+ab$

kde:

$a$ je najdhlšia strana hornej podstavy (predná strana)

$b$ je najkratšia strana hornej podstavy (bočná strana)

$A$ je najdhlšia strana dolnej podstavy (predná strana)

$B$ je najkratšia strana dolnej podstavy (bočná strana)

$c$ je horná, najkratšia strana predných lichobežníkov

$c_1$ je horná, najkratšia strana bočných lichobežníkov

$a_1$ je dolná, najdlhšia strana predných lichobežníkov

$a_2$ je dolná, najdhlšia strana bočných lichobežníkov$A$

$h$ je výška

Rovnostranný trojuholníkový obelisk

Je tvorený dvoma paralelnými rovnostrannými trojuholníkmi tvoriacich dolnú a hornú podstavu. Plášť tohto obelisku tvoria 3 rovnoramenné lichobežníky. Každá stena je priamo prepojená s ďalšími dvomi, vďaka vlastnosti trojuholníku. Z geometrického hľadiska, ide o zrezaný pravidelný štvorsten. Vďaka tomu že podstava je rovnostranný trojuholník, existuje len strana hornej podstavy $a$ a dolnej podstavy $A$. Horná, najkratšia strana lichobežníka $c$ je rovnako dlhá ako strana $a$. Dolná, najdlhšia strana lichobežníka $a_1$je rovnako dlhá ako strana dolnej podstavy $A$. Preto:

$c=a$ a $a_1=A$

Obvod dolnej podstavy vypočítame ako:

$O=3A$

Obvod hornej podstavy vypočítame ako:

$O_1=3a$

Objem vypočítame ako:

$V=\frac{h}{3}(S_1+S_2+\sqrt{S_1{S}_2})$

Obsah plášťa vypočítame ako:

$A_L=3\frac{(a_1+c)}{2}$

Povrch vypočítame ako:

$A_T=A_L+S_1+S_2$

kde:

$a$ je strana hornej podstavy

$A$ je strana dolnej podstavy

$c$ je horná, najkratšia strana lichobežníka

$a_1$ je dolná, najdlhšia strana lichobežníka

$S_1$ je obsah hornej podstavy

$S_2$ je obsah dolnej podstavy

$h$ je výška

Pentagonálny obelisk

Je tvorený dvoma paralelnými pravidelnými konvexnými päťuholníkmi tvoriacich dolnú a hornú podstavu. Plášť tohto obelisku tvorí 5 rovnoramenných lichobežníkov. Vďaka tomu že ide o pravidelný konvexný polygón s rovnakými dĺžkami strán, existujú len strana hornej podstavy $a$ a strana dolnej podstavy $A$. Najkratšia, horná strana lichobežníka $c$ má takú istú dĺžku ako strana hornej podstavy $a$. Najdlhšia, dolná strana lichobežníka $a_1$ má takú istú dĺžku ako strana dolnej podstavy $A$. Preto:

$c=a$ a $a_1=A$

Obvod dolnej podstavy vypočítame ako:

$O=5A$

Obvod hornej podstavy vypočítame ako:

$O_1=5a$

Objem vypočítame ako:

$V=\frac{h}{3}(S_1+S_2+\sqrt{S_1{S}_2})$

Obsah plášťa vypočítame ako:

$A_L=5\frac{(a_1+c)}{2}$

Povrch vypočítame ako:

$A_T=A_L+S_1+S_2$

kde:

$a$ je strana hornej podstavy

$A$ je strana dolnej podstavy

$c$ je horná, najkratšia strana lichobežníka

$a_1$ je dolná, najdlhšia strana lichobežníka

$S_1$ je obsah hornej podstavy

$S_2$ je obsah dolnej podstavy

$h$ je výška

Hexagonálny obelisk

Je tvorený dvoma paralelnými pravidelnými konvexnými hexagónmi (šesťuholníkmi) tvoriacich dolnú a hornú podstavu. Plášť tohto obelisku tvorí 6 rovnoramenných lichobežníkov. Vďaka vyššie uvedenej vlastnosti pravidelných konvexných polygónov s rovnakými dĺžkami strán, existujú len strana hornej podstavy $a$ a strana dolnej podstavy $A$. Najkratšia, horná strana lichobežníka $c$ má takú istú dĺžku ako strana hornej podstavy $a$. Najdlhšia, dolná strana lichobežníka $a_1$ má takú istú dĺžku ako strana dolnej podstavy $A$. Preto:

$c=a$ a $a_1=A$

Obvod dolnej podstavy vypočítame ako:

$O=6A$

Obvod hornej podstavy vypočítame ako:

$O_1=6a$

Na výpočet objemu znova použijeme vzorec na výpočet objemu obeliskov s podstavou pravidelného konvexného polygónu a pod.:

$V=\frac{h}{3}(S_1+S_2+\sqrt{S_1{S}_2})$

Obsah plášťa vypočítame ako:

$A_L=6\frac{(a_1+c)}{2}$

Povrch vypočítame ako:

$A_T=A_L+S_1+S_2$

kde:

$a$ je strana hornej podstavy

$A$ je strana dolnej podstavy

$c$ je horná, najkratšia strana lichobežníka

$a_1$ je dolná, najdlhšia strana lichobežníka

$S_1$ je obsah hornej podstavy

$S_2$ je obsah dolnej podstavy

$h$ je výška

Zrezaný kužeľ

Je objekt zkonštruovaný rotáciou pravouhlého lichobežníka o 360°. Jedná sa o špeciálny typ obelisku, kedže sa nezakladá na polygonálnej (mnohouholníkovej) podstave.

Je tvorený dvoma paralelnými kruhmi. Jeho plášť je výsledkom zrezania kužeľa. Obvod dolnej podstavy vypočítame ako:

$O=2\pi r_1$

Obvod hornej podstavy vypočítame ako:

$O_1=2\pi r_2$

Objem vypočítame ako:

$V=\frac{1}{3}\pi (r_1^2+r_1{r}_2+r_2^2)h$

Bočnú stranu kužeľa vypočítame ako:

$k=\sqrt{(r_1-r_2{)}^2+h^2}$

Obsah plášťa vypočítame ako:

$A_L=\pi k(r_1+r_2)$

Alebo ako:

$A_L=\pi (r_1+r_2)\sqrt{(r_1-r_2{)}^2+h^2}$

Povrch vypočítame ako:

$A_T=\pi (r_1^2+r_2^2)+\pi k(r_1+r_2)$

Alebo ako:

$A_T=A_L+(2\pi r_1)+(2\pi r_2)$

kde:

$r_1$ je polomer dolnej podstavy

$r_2$ je polomer hornej podstavy

$h$ je výška