Kruh

Kruh so zvýrazneným polomerom a priemerom. M – stred, r – polomer, d – priemer

Kruh (z praslovan. krǫgъ, ktoré pochádza z praindoeur. krengh- odvodeného od [s]ker- – krútiť, ohýbať; lat. circulus) je množina bodov v rovine, ktorých vzdialenosť od pevného bodu (stredu kružnice) je menšia alebo rovná pevne danému kladnému číslu (nazývaným polomer). Hranicu kruhu tvorí kružnica a je podmnožinou kruhu. Kruh je teda plocha ohraničená kružnicou vrátane nej samej.

Pre obvod kruhu platí:$O=2\pi r$, kde $\pi =3,1415926...$ je konštanta (Ludolfovo číslo) a $r$ je polomer kruhu.

Pre obsah kruhu platí:$S=\pi r^2=\frac{\pi d^2}{4}$

Rovnice kruhu

Všeobecná rovnica kruhu je:

$x^2+y^2+ax+by+c\le 0$

Stredová rovnica kruhu je:

$(x-x_M{)}^2+(y-y_M{)}^2\le r^2$

Parametrická rovnica kruhu je:

$x=x_M+t\cdot cos(\varphi )$

$y=y_M+t\cdot sin(\varphi )$

Symboly:
$a,b,c$ sú konštanty, pre ktoré platí $a^2+b^2-4ac>0$
$x_M$ a $y_M$ sú súradnice stredu M kruhu
$x$ a $y$ sú súradnice bodu, ktorý patrí množine „kruh“
$r$ je polomer kruhu
$t$ je vzdialenosť $0\le t\le r$ od stredu $M$ ako parameter
$\varphi$ je uhol $0\le \varphi \le 2\pi$ ako parameter

Plocha kruhu

Pre obsah S kruhu platí vzťah $S=\pi r^2$. Znamená to, že štvorcov s polomerovým základom sa do kruhu zmestí práve $\pi$. $S=4\underset{0}{\overset{r}{\int }}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{\mathrm{D}(r\cos \phi ,r\sin \phi )}{\mathrm{D}(r,\phi )}d\phi dr=4\underset{0}{\overset{r}{\int }}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left|\begin{array}{cc}\cos \phi & -r\sin \phi \\ \sin \phi & r\cos \phi \end{array}\right|d\phi dr=4\underset{0}{\overset{r}{\int }}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}rd\phi dr=4\underset{0}{\overset{r}{\int }}\frac{\pi }{2}rdr=\pi r^2$

Vlastnosti

Táles vraj prvý dokázal, že priemer rozdeľuje kruh na dve zhodné časti (podľa Prokla).

Externé odkazy

• Šablóna:Filit