Lineárny funkcionál

Lineárny funkcionál alebo lineárna forma alebo konvektor je v matematike lineárne zobrazenie z množiny vektorov daného vektorového priestoru do množiny jeho skalárov. Inými slovami, lineárny funkcionál je funkcionál, ktorý je súčasne lineárnym zobrazením.

Definícia

Nech V je vektorový priestor nad poľom F. Zobrazenie $f:V\to F$ sa nazýva lineárny funkcionál vo V, ak platí:

1. $\mathrm{\forall }x,y\in V:f(x+y)=f(x)+f(y),$
2. $\mathrm{\forall }x\in V\mathrm{\forall }\alpha \in F:f(\alpha \cdot x)=\alpha f(x).$

Tieto dve podmienky možno ekvivalentne prepísať do podmienky

$\mathrm{\forall }x,y\in V\mathrm{\forall }\alpha ,\beta \in F:f(\alpha \cdot x+\beta \cdot y)=\alpha f(x)+\beta f(y).$

Uvedenú definíciu teda možno preformulovať tak, že f je lineárne zobrazenie z V do F.

Príklady

Lineárne funkcionály v Rⁿ

Uvažujme o euklidovskom priestore ${ℝ}^n$. Predpokladajme, že vektory priestoru ${ℝ}^n$ sú reprezentované ako stĺpcové vektory typu

$x=(x_1,x_2,\dots ,x_n{)}^T.$

Potom každý lineárny funkcionál možno zapísať v tvare

$f(x)=a_1{x}_1+a_2{x}_2+\dots +a_n{x}_n.$

Predchádzajúci výraz možno ekvivalentne zapísať ako maticový súčin

$f(x)=(a_1,a_2,\dots ,a_n)\cdot (x_1,x_2,\dots ,x_n{)}^T.$

To znamená, že lineárne funkcionály na ${ℝ}^n$ môžu byť reprezentované ako n-rozmerné riadkové vektory $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$.

Integrály

Typickým príkladom lineárnych funkcionálov sú lineárne funkcionály na vektorových priestoroch funkcií. Príkladom takéhoto lineárneho funkcionálu môže byť napríklad Riemannov integrál chápaný ako zobrazenie na vektorovom priestore spojitých reálnych funkcií na intervale $<a,b>$. Môžeme teda definovať funkcionál I ako

$I(f)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx.$

Linearitu funkcionálu možno overiť nasledujúcim spôsobom:

$I(\alpha \cdot f+\beta \cdot g)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}((\alpha \cdot f)(x)+(\beta \cdot g)(x))dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\alpha f(x)+\beta g(x))dx=\alpha \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx+\beta \underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx=\alpha I(f)+\beta I(g).$

Literatúra

• Rudin, W.: Functional Analysis. McGraw-Hill, 1973.
• Yosida, K.: Functional Analysis. Springer-Verlag, 1980.
• Vopěnka, P.: Analytická geometrie druhé generace. Univerzita Jana Evangelisty Purkyně v Ústí nad Labem, 1998.

Externé odkazy

• Definícia lineárneho funkcionálu na Wolfram MathWorld Šablóna:Eng icon.