Gaussova veta

Gaussova veta (iné názvy: (Gaussova-)Ostrogradského (integrálna) veta, Gaussova-Ostrogradského formula, Greenova(-Ostrogradského) veta, Greenova transformácia, (Gaussova) veta o divergencii) je veta matematickej analýzy, ktorá uvádza do súvislosti tok vektorového poľa A(r) uzavretou jednoducho súvislou hladkou plochou Σ s integrálom cez objem V plochou uzavrený z divergencie daného vektorového poľa.

${\oint }_{\mathrm{\Sigma }}𝐀\cdot \mathrm{d}𝐒=\underset{V}{\int }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)\mathrm{d}V$,

kde $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀$ je divergencia vektorového poľa $𝐀(r)$, $\mathrm{\nabla }$ je operátor nabla a plocha $\mathrm{\Sigma }=\partial V$ je hranica kompaktnej množiny V, ktorá je orientovaná vektorom vonkajšej normály, tzn. $\mathrm{d}𝐒=𝐧\mathrm{d}S$ a n je vektor vonkajšej normály plochy, a je regulárna a otvorená množina.

Z fyzikálneho hľadiska vyjadruje Gaussova veta skutočnosť, že tok vektoru A uzavrenou plochou je rovný objemovému integrálu z divergencie vektoru A.

Pre skalárnu veličinu f možno zaviesť jej tok uzavretou plochou S vzťahom

$\underset{V}{\int }\mathrm{\nabla }f\mathrm{d}V={\oint }_{S}f\mathrm{d}𝐒$

Pre tenzorovú veličinu $T_{ij}$ využijeme skutočnosti, že po kontrakcii je $T_{ij}\mathrm{d}{S}_j$ tenzorom prvého stupňa. Gaussovu vetu pre tenzorovú veličinu potom môžeme vyjadriť ako

$\underset{V}{\int }\mathrm{d}V\frac{\partial }{\partial x_j}{T}_{ij}={\oint }_S{T}_{ij}\mathrm{d}{S}_j$

Okrem uvedených vzťahov platí pre vektor A tiež vzťah

$\underset{V}{\int }\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}𝐀\mathrm{d}V=-{\oint }_S𝐀\times \mathrm{d}𝐒$