Operátor nabla

Operátor nabla (iné názvy: nabla, operátor del, del, Hamiltonov operátor, Hamiltonov operátor nabla, hamiltonián) je diferenciálny operátor vo vektorovej analýze. Označuje sa symbolom nabla $\mathrm{\nabla }$ alebo $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}$ (v anglosaských krajinách $\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}$), aby sa vyjadrila jeho podobnosť s vektorom. Meno nabla je odvodené od názvu hebrejského strunového nástroja, ktorý mal zhruba tento tvar.

Nabla sa používa na skrátený zápis matematických operátorov ako gradient, divergencia, rotácia a iných.

V n-rozmernom priestore Rⁿ vytvára ∇ všetky parciálne derivácie funkcie Rⁿ podľa R, čo je presne gradient funkcie f.

Ako n-vektor má nabla tvar: $\mathrm{\nabla }\equiv (\frac{\partial }{\partial x_1},\dots ,\frac{\partial }{\partial x_n})$

Svojim diferenciálnym charakterom pôsobí operátor napravo (teda na symboly stojace napravo od neho), pričom sa prejavuje jeho vektorový charakter.

V tenzorovej analýze sa operátor nabla ukázal byť dôležitým príkladom kovariantného tenzoru.

Operátor sa označuje aj ako Hamiltonov operátor (pozor na zámenu s pojmom hamiltonián), pretože ho ako prvý používal sir William Rowan Hamilton.

Zápis významných vzorcov pomocou operátoru nabla

Nasledujúce pravidlá platia pre (vo fyzike najobvyklejší) trojdimenzionálny euklidovský priestor R³ s pravouhlými súradnicami x, y a z.

• Aplikáciou na skalárne pole $\begin{array}{c}\mathrm{\Phi }(x,y,z)\end{array}$ dostávame gradient tohto skalárneho poľa:

$\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{\Phi }=\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }=(\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial x},\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial y},\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial z})=\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial x}{𝐞}_x+\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial y}{𝐞}_y+\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial z}{𝐞}_z,$

kde ${𝐞}_x,{𝐞}_y,{𝐞}_z$ sú jednotkové vektory priestoru R³.

• Skalárnym súčinom nably s vektorovým poľom $\begin{array}{c}𝐕(x,y,z)\end{array}$ dostávame divergenciu tohto poľa:

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}𝐕=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐕=\frac{\partial V_x}{\partial x}+\frac{\partial V_y}{\partial y}+\frac{\partial V_z}{\partial z}.$

• Rotáciu vektorového poľa $\begin{array}{c}𝐕(x,y,z)\end{array}$ potom získame vektorovým súčinom $\mathrm{\nabla }$ s týmto poľom.

$\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}𝐕=\mathrm{\nabla }\times 𝐕=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial V_z}{\partial y}-\frac{\partial V_y}{\partial z}\\ \frac{\partial V_x}{\partial z}-\frac{\partial V_z}{\partial x}\\ \frac{\partial V_y}{\partial x}-\frac{\partial V_x}{\partial y}\end{array}\right).$

Ďalej potom pre ľubovolné skalárne pole φ, ψ a f a vektorové polia A a B platia nasledujúce operácie:

$\mathrm{\nabla }(\psi \phi )=\psi \mathrm{\nabla }\phi +\phi \mathrm{\nabla }\psi$

$\mathrm{\nabla }(𝐀\cdot 𝐁)=(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐁+(𝐁\cdot \mathrm{\nabla })𝐀+𝐀\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)+𝐁\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)$

$\mathrm{\nabla }f(r)=\frac{df}{dr}\frac{𝐫}{r}$

$\mathrm{\nabla }\cdot (\phi 𝐀)=\phi \mathrm{\nabla }\cdot 𝐀+𝐀\cdot \mathrm{\nabla }\phi$

$\mathrm{\nabla }\cdot (𝐀\times 𝐁)=𝐁\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)-𝐀\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)$

$\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }\phi \equiv \mathrm{\Delta }\phi$ (pozri aj Laplaceov operátor)

$\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)=\mathrm{𝟎}$

$\mathrm{\nabla }\times \phi 𝐀=\phi \mathrm{\nabla }\times 𝐀-𝐀\times \mathrm{\nabla }\phi$

$\mathrm{\nabla }\times (𝐀\times 𝐁)=(𝐁\mathrm{\nabla })𝐀-𝐁(\mathrm{\nabla }𝐀)+𝐀(\mathrm{\nabla }𝐁)-(𝐀\mathrm{\nabla })𝐁$

$\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\phi =\mathrm{𝟎}$

$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)-\mathrm{\Delta }𝐀$