Divergencia (vektorové pole)

V oblasti ohraničenej kružnicou nie je zdroj ani prepad, divergencia poľa v nej je preto nulová

Divergencia je diferenciálny operátor používaný vo vektorovej analýze. Ak je skúmaným poľom napr. gradient teploty (vektory nech udávajú napr. rýchlosť vedenia tepla), potom kladná divergencia v danom bode znamená, že v danom bode vzniká teplo, záporná naopak, že v danom mieste teplo zaniká.

Divergenciu využíva Gaussova veta, ktorá prevádza výpočet toku vektorového poľa cez uzavretú plochu na výpočet integrálu divergencie daného vektorového poľa z objemu v tejto ploche uzavretého.

Definícia

Ak sú x, y, z karteziánske súradnice v 3-rozmernom euklidovskom priestore, a e_x, e_y, e_z je báza jednotkových vektorov v danom priestore, a

$𝐅=F_x{𝐞}_x+F_y{𝐞}_y+F_z{𝐞}_z$

je spojité diferencovateľné vektorové pole, potom jeho divergenciu definujeme ako skalárnu veličinu

$\mathrm{div}𝐅=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}.$

Napriek tomu, že je divergencia definovaná v karteziánskych súradniciach, ide o invariantnú veličinu, ktorá nadobúda rovnaké hodnoty vo všetkých súradných sústavách.

V n-rozmernom priestore možno operátor divergencie vyjadriť prostredníctvom skalárneho súčinu operátoru nabla a vektoru v, tzn.

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}𝐯=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯=\frac{\partial v_k}{\partial x_k}=\frac{\partial v_1}{\partial x_1}+\frac{\partial v_2}{\partial x_2}+\cdots +\frac{\partial v_n}{\partial x_n}$,

kde sa využilo Einsteinove sumačné pravidlo.

Operátor divergencie sa zapisuje aj ako

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}=\mathrm{\nabla }\cdot$

Deriváciou tenzora T n-tého stupňa dostaneme tenzor stupňa n+1 so zložkami $\frac{\partial {𝐓}_{ij\cdots rs}}{\partial x_t}$. Kontrakciou indexu t proti indexu s získame divergenciu tenzoru T, čo je tenzor stupňa n-1.

${𝐃}_{ij\cdots r}=\frac{\partial {𝐓}_{ij\cdots rs}}{\partial x_s}$

Divergencia teda znižuje stupeň tenzoru o 1, napr. divergenciou vektora získame skalár.

Vlastnosti

Ak označíme F, G ako vektorové polia, f ako skalárne pole, a,b reálne čísla, potom operátor divergencie spĺňa nasledujúce identity:

Je lineárna voči reálnym číslam

$\mathrm{\nabla }\cdot (a𝐅+b𝐆)=a\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅+b\mathrm{\nabla }\cdot 𝐆,$

aplikovaná na súčin funkcie a vektorového poľa spĺňa identitu

$\mathrm{\nabla }\cdot (f𝐅)=\mathrm{\nabla }f\cdot 𝐅+f\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}f\cdot 𝐅+f\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}𝐅$.

Pre divergenciu vektorového súčinu platí

$\mathrm{\nabla }\cdot (𝐅\times 𝐆)=(\mathrm{\nabla }\times 𝐅)\cdot 𝐆-𝐅\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐆)=(\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}𝐅)\cdot 𝐆-𝐅\cdot (\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}𝐆)$,

kde ∇ × F je rotácia F.

Ďalej divergencia rotácie sa rovná nule:

$\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐅)=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}𝐅=0$.

Vyjadrenie v rôznych súradných sústavách

Nasledujúce vzťahy udávajú vyjadrenie divergencie v rôznych súradných sústavách v trojrozmernom priestore. Ak je F vektorové pole v  v daných súradniciach, tak platí

Vo valcových súradniciach:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=\frac{1}{r}\frac{\partial (r{F}_r)}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial F_{\phi }}{\partial \phi }+\frac{\partial F_z}{\partial z}$

Vo sférických súradniciach:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=\frac{1}{r^2}\frac{\partial (r^2{F}_r)}{\partial r}+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(F_{\theta }\sin \theta )+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial F_{\phi }}{\partial \phi }$

Ak použijeme všeobecné ortogonálne súradnice x₁,x₂,x₃, ktorej Laméove koeficienty sú v tomto poradí h₁,h₂,h₃

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=\frac{1}{h_1{h}_2{h}_3}(\frac{\partial \left(h_2{h}_3{F}_1\right)}{\partial x_1}+\frac{\partial \left(h_1{h}_3{F}_2\right)}{\partial x_2}+\frac{\partial \left(h_1{h}_2{F}_3\right)}{\partial x_3})$

V úplne všeobecných súradniciach pre zložky vektora divergencie platí

${\mathrm{\nabla }}_{\underset{\_}{m}}\left(F^k\frac{{\mathit{\partial }}^{\underset{\_}{m}}}{\mathit{\partial }{x}^k}\right)={F^k}_{;k}={F^k}_{,k}+{{\mathrm{\Gamma }}^i}_{ij}{F}^j$

Dohovor: Kým v predchádzajúcom texte sme za bázu brali ortonormálnu bázu v daných súradniciach, vo vzorci pre všeobecné súradnice používame bázu vektorov alebo diferenciálnych foriem a explicitne uvedieme ktorú. Rovnako v predchádzajúcom texte nerozlišujeme polohu indexov a všetky indexy (ortonormálnej bázy aj súradníc) píšeme dole, no vo všeobecných súradniciach polohu indexov rozlišujeme.