Gama rozdelenie

Gama rozdelenie je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike spojité rozdelenie pravdepodobnosti s dvoma parametrami. Jeho špeciálnymi prípadmi sú exponenciálne rozdelenie a ${\chi }^2$-rozdelenie. Patrí k pravostranne (pozitívne) zošikmeným rozdeleniam.

Gama rozdelenie sa používa na modelovanie pravdepodobnosti doby čakania, tiež sa používa v poistnej matematike pri modelovaní výšky poistných plnení. Na tento účel sa používa aj exponenciálne rozdelenie, no pretože gama rozdelenie je na rozdiel od neho závislé od dvoch parametrov, je vhodnejšie a pri tomto modelovaní aj viac flexibilnejšie. Napriek tomu neodhaduje dobre pravdepodobnosť extrémne vysokých poistných plnení.

Definícia

Nech $X$ je náhodná veličina a nech $\alpha \in R^{+}$ a $\beta \in R^{+}$. Hovoríme, že táto náhodná veličina $X$ má gama rozdelenie s parametrami $\alpha$ a $\beta$, ak jej hustota pravdepodobnosti má nasledovný tvar:

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\beta x}& \mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}x>0\\ 0& \mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}x\le 0\end{array}$

kde označenie $\mathrm{\Gamma }(\alpha )$ označuje gama funkciu (ktorá sa tiež nazýva aj Eulerov integrál druhého druhu) a je definovaná nasledovne:

$\mathrm{\Gamma }(\alpha )=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}{x}^{\alpha -1}\mathrm{d}x$

Parameter $\alpha$ nazývame parameter tvaru a $\beta$ zase paramater škály.

Označenie:

• $\mathrm{X}\sim Gama(\alpha ,\beta )$
• $\mathrm{X}\sim \mathrm{\Gamma }(\alpha ,\beta )$

Ďalšie vyjadrenia

Jedna z dôležitých vlastností gama rozdelenia je tá, že pokiaľ máme dve, prípadne viac, náhodných premenných, ktoré majú gama rozdelenie, tak ich súčet má tiež gama rozdelenie, menia sa iba parametre.

Nech $X$ a $Y$ sú dve náhodné veličiny, ktoré sú nezávislé, pričom každá z nich má gama rozdelenie s parametrami $\mathrm{(}\alpha ,{\beta }_1)$ a $\mathrm{(}\alpha ,{\beta }_2)$, ďalej nech pre parametre platí nasledovné: $\alpha \in R^{+}$, ${\beta }_1\in R^{+}$ a ${\beta }_2\in R^{+}$. Potom náhodná veličina $\mathrm{Z}=X+Y$, má tiež gama rozdelenie s parametrami $\mathrm{(}\alpha ,{\beta }_1+{\beta }_2)$

Majme $n$ nezávislých náhodných premenných $X_1,...,X_n$, pričom každá z nich má gama rozdelenie a parametrami $(\alpha ,{\beta }_1),\cdots ,(\alpha ,{\beta }_n)$. Pre parametre platí: $\alpha \in R^{+}$ a ${\beta }_j\in R^{+}$ pre $j=1,\cdots ,n$. Potom náhodná veličina nasledovného tvaru:

$X=\sum _{j=1}^n{X}_j$

má tiež gama rozdelenie s parametrami $(\alpha ,\sum _{j=1}^n{\beta }_j)$.

Vzťah k iným rozdeleniam

Z definície vyplýva, že pokiaľ vo vyjadrení hustoty pravdepodobnosti položíme parameter $\alpha =1$, tak dostaneme hustotu pravdepodobnosti exponenciálneho rozdelenia s parametrom $\beta$, teda:

$f(x)=\frac{{\beta }^1}{\mathrm{\Gamma }(1)}{x}^{1-1}{e}^{-\beta x}=\beta e^{-\beta x}$

Pokiaľ vo vyjadrení hustoty pravdepodobnosti gama rozdelenia položíme parameter $\alpha =\frac{n}{2}$, pričom $n$ je celé kladné číslo a druhý parameter $\beta =2$, tak dostaneme ${\chi }^2$-rozdelenie s $n$ stupňami voľnosti, teda ${\chi }^2(n)$

Vlastnosti

Začiatočné momenty tohto rozdelenia môžeme vyjadriť pomocou všeobecného vzťahu nasledovne:

${\mu }_r=\frac{\mathrm{\Gamma }(r+\alpha )}{{\beta }^r\mathrm{\Gamma }(\alpha )}$

Teda z tohto vzťahu dostaneme nasledovné vyjadrenia pre strednú hodnotu a disperziu premennej $X$:

• $\mathrm{E}(X)=\frac{\alpha }{\beta }$
• $\mathrm{D}(X)=\frac{\alpha }{{\beta }^2}$

Pre koeficient šikmosti platí nasledovný vzťah:

${\mathrm{\gamma }}_1=\frac{2}{\sqrt{\alpha }}$

Momentová vytvárajúca funkcia má nasledovný tvar:

$m(t)=(\frac{\beta }{\beta -t}{)}^{\alpha }$

pre $t<\beta$.

Pre charakteristickú funkciu náhodnej veličiny s gama rozdelením zase platí nasledovné:

$\phi (t)=\frac{{\beta }^{\alpha }}{(\beta -it{)}^{\alpha }}$

pričom pre parametre platí: $\alpha >0$, $\beta >0$ a $t\in R$.

Poznámky

• V závislosti od literatúry sa používa rôzne značenie parametrov tohto rodelenia. Namiesto gréckych písmen $\alpha$ a $\beta$ sa zvyknú používať písmená našej abecedy, $a$ a $b$ (pričom v niektorej literatúre potom parameter $\alpha$ zodpovedá $b$ a parameter $\beta$ zodpovedá $a$).

Zdroje

• Šablóna:Citácia knihy
• Šablóna:Citácia knihy
• Šablóna:Citácia knihy
• Šablóna:Citácia knihy
• Šablóna:Citácia elektronického dokumentuŠablóna:Nedostupný zdroj