Rozptyl (štatistika)

Rozptyl (iné názvy: variancia, disperzia, stredná kvadratická odchýlka, stredná kvadratická fluktuácia) je najčastejšie používaná miera variability.

Hodnota rozptylu je závislá od odchýlky štatistiky od priemeru. Ak chápeme štatistický súbor ako realizáciu náhodného výberu z určitého rozdelenia, potom rozptyl určuje strednú kvadratickú odchýlku jednotlivých nameraných hodnôt od výberového priemeru.

Definícia

Nech $X$ je náhodná premenná, ktorá nadobúda konečne alebo spočítateľne veľa hodnôt. Potom definujeme rozptyl ako

$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}[X]=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(x_k-\mathrm{E}[X]{)}^2\cdot \mathrm{P}\mathrm{r}[X=x_k]$.

Ďalším často používaným vzťahom na výpočet rozptylu je

$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}[X]=\mathrm{E}[X^2]-\mathrm{E}[X{]}^2$,

ku ktorému môžeme prísť odvodením zo základného vzťahu. Ak je každý výsledok rovnako pravdepodobný a je ich konečne veľa, uvedený vzťah možno prepísať do tvaru

$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}[X]=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n(x_k-\mathrm{E}[X]{)}^2$.

Ak uvažujeme náhodnú premennú $X$, ktorá nadobúda nekonečne veľa, resp. nespočítateľne veľa hodnôt, teda je spojitá, používame na výpočet variancie vzťah

$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}[X]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(x-\mathrm{E}[X]{)}^{2}f(x)\mathrm{d}x$,

kde $f$ je funkcia hustoty pravdepodobnosti príslušného rozdelenia.

Vlastnosti rozptylu

• Rozptyl má aditívnu vlastnosť len v prípade, že náhodné premenné v jeho argumente sú nezávislé.
• $\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}[X+Y]=\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}[X]+\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}[Y]+2\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}[X,Y]$

• Pri transformácii náhodnej premennej $\alpha X$, kde $\alpha$ je konštanta platí

$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}[\alpha X]={\alpha }^2\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}[X]$

• Rozptyl môžeme prepísať z definičného tvaru do nasledovného, z ktorého je jasné, že ide o strednú hodnotu istej transformácie pôvodnej náhodnej premennej

$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}[X]=\mathrm{E}[(X-\mathrm{E}[X]{)}^2]$

Použitie a príklady

Hodnota rozptylu je vždy kladná, čo vyplýva z toho, že pracujeme s druhou mocninou odchýlky. Druhú odmocninu z rozptylu nazývame smerodajná odchýlka a označujeme

${\sigma }_X=\sqrt{\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}[X]}$

Pomocou štandardnej odchýlky a korelačného koeficientu možno vyjadriť kovarianciu nasledovným spôsobom

$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}[X,Y]={\rho }_{XY}{\sigma }_X{\sigma }_Y$

Rozptyl vystupuje aj v dôležitej Čebyševovej nerovnosti, ktorá sa využíva pri dôkaze slabého zákona veľkých čísel.

Príklad

Rozptyl rovnomerného rozdelenia na intervale [-1,+1] je

$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}[X]=\underset{-1}{\overset{+1}{\int }}(x-0{)}^2\frac{1}{2}\mathrm{d}x={\left[\frac{x^3}{6}\right]}_{-1}^{+1}=\frac{1}{3}$