Gama funkcia

Gama funkcia

Gama funkcia (iné názvy: funkcia gama, $\mathrm{\Gamma }$-funkcia, Eulerov integrál druhého druhu) je zovšeobecnenie faktoriálu na obore komplexných čísiel.

Funkcia faktoriál je pre prirodzené čísla definovaná nasledovným súčinom:

$n!=n(n-1)(n-2)\dots \times 3\times 2\times 1$

Gama funkcia nahrádza túto funkciu pre reálne a komplexné čísla:

$\mathrm{\Gamma }(z+1)=z!$

Pretože hodnoty funkcie faktoriál a gama rastú veľmi rýchlo, pri počítaní sa používa prirodzený logaritmus gama funkcie $ln(\mathrm{\Gamma })$: hodnoty rastú oveľa pomalšie a pri počítaní dovoľujú sčítavanie a odčítavanie namiesto násobenia a delenia.

Definícia

Funkciu definovanú pre $x>0$ nasledovným predpisom:

$\begin{array}{c}\mathrm{\Gamma }(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\int }}}{t}^{x-1}{e}^{-t}\mathrm{d}t\end{array}$

nazývame gama funkciou (alebo tiež Eulerovým integrálom druhého druhu).

Tieto vzťahy definujú gama funkciu v oblasti $\text{Re}z>0$. Gamma funkcia má rozšírenie do komplexnej roviny pomocou analytického predĺženia. Potom je definovaná v každom komplexnom čísle okrem $\{0,-1,-2,-3,\dots \}$, kde má póly.

Dôležité vzťahy

Niektoré dôležité vzťahy, ktoré platia pre gama funkciu:

• $\mathrm{\Gamma }(x+1)=x\mathrm{\Gamma }(x)$
• $\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(1-x)=\frac{\pi }{\sin \pi x}\text{ pre }0<x<1$
• $\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(x+\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{\pi }}{2^{2x-1}}\mathrm{\Gamma }(2x)$

Špeciálne pre prirodzené čísla $n$ budeme mať:

$\mathrm{\Gamma }(n+\frac{1}{2})=\frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi }$

• Pre prirodzené čísla $n$ platí nasledovné: $\mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!$

• $B(x,y)=\frac{\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)}$

• $\mathrm{\Gamma }(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n!n^x}{x(x+1)\cdots (x+n)}$

Nasledujúca definícia gama funkcie obsahujúca nekonečný súčin platí pre všetky komplexné čísla $x$, ktoré nie sú reálne záponé alebo nula.

$\mathrm{\Gamma }(x)=\frac{e^{-\gamma x}}{x}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{(1+\frac{x}{n})}^{-1}{e}^{x/n}$

kde $\gamma$ je Eulerova-Mascheroniova konštanta .

Niektoré hodnoty

V nasledujúcej kapitole sú uvedené niektoré konkrétne hodnoty, ktoré funkcia gama nadobúda:

$\mathrm{\Gamma }(-2)$	(nedefinované)
$\mathrm{\Gamma }(-\frac{3}{2})$	$=\frac{4\sqrt{\pi }}{3}$
$\mathrm{\Gamma }(-1)$	(nedefinované)
$\mathrm{\Gamma }(-\frac{1}{2})$	$=-2\sqrt{\pi }$
$\mathrm{\Gamma }(0)$	(nedefinované)
$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)$	$=\sqrt{\pi }$
$\mathrm{\Gamma }(1)$	$=0!=1$
$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{2}\right)$	$=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$
$\mathrm{\Gamma }(2)$	$=1!=1$
$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{5}{2}\right)$	$=\frac{3\sqrt{\pi }}{4}$
$\mathrm{\Gamma }(3)$	$=2!=2$
$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{7}{2}\right)$	$=\frac{15\sqrt{\pi }}{8}$
$\mathrm{\Gamma }(4)$	$=3!=6$
$\underset{z\to 0+}{\lim }\mathrm{\Gamma }(z)$	$=+\mathrm{\infty }$
$\underset{z\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{\Gamma }(z)$	$=+\mathrm{\infty }$

Zdroj

• Šablóna:Citácia knihy
• Šablóna:Preklad