Suprémum

Suprémum znamená aj všeobecne jav či prvok najbližší z ďalších nasledujúcich.

Suprémum množiny reálnych čísel $A$ je číslo $K$ také, ktoré je najmenším horným ohraničením. Horné ohraničenie je číslo väčšie alebo rovné ľubovoľnému prvku množiny $A$. Supremum označujeme $K=\sup A$.

Najväčšie dolné ohraničenie nazývame infimum.

Definičné vlastnosti superéma

1. Keďže $K$ je horným ohraničením množiny $A$, musí platiť $a<K$ pre všetky $a$ z množiny $A$.
2. $K$ má byť najmenším horným ohraničením. Ak ho zmenšíme o ľubovoľnú kladnú hodnotu $\epsilon$, dostaneme $K-\epsilon$, čo už nesmie byť horným ohraničením.

Príklad

Majme množinu $A=\{\frac{0}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\dots \}=\{\frac{n-1}{n},n\in \mathbb{N}\}$. Ukážeme, že $1$ je jej suprémom.

1. Musí platiť, že $\frac{n-1}{n}=1-\frac{1}{n}<1$, čo je pravda pre každé prirodzené číslo $n$.
2. Musí platiť, že pre každé $\epsilon >0$ nebude hodnota $1-\epsilon$ horným ohraničením množiny $A$. Teda má existovať také $a\in A$, pre ktoré bude väčšie ako $1-\epsilon$. Hodnoty $a$ môžeme zapísať ako $\frac{n-1}{n}$, takže ekvivalentne možno povedať: Má existovať také $n\in \mathbb{N}$, že $\frac{n-1}{n}>1-\epsilon$. Postupnými úpravami dospejeme k nerovnosti $n>\frac{1}{\epsilon }$, čo má určite celočíselné riešenie.