Studentovo rozdelenie

Studentovo rozdelenie (iné názvy: Studentovo pravdepodobnostné rozdelenie, Studentovo rozdelenie pravdepodobnosti, Studentovo t-rozdelenie (pravdepodobnosti), Studentovo rozdelenie t, t-rozdelenie (pravdepodobnosti), rozdelenie t) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike spojité rozdelenie pravdepodobnosti.

Studentovo rozdelenie má v matematickej štatistike veľmi významné postavenie a využitie. Najčastejšie sa používa pri určovaní intervalových odhadov a pri testovaní štatistických hypotéz. Pri tomto testovaní sa využívajú kritické hodnoty t-rozdelenia, ktoré sú tabelované a na základe nich vieme testovanú štatistickú hypotézu prijať alebo zamietnuť. Tabelované sú tiež hodnoty distribučnej funkcie tohto rozdelenia.

Definícia

Nech $X$ je náhodná premenná, nech $n$ je prirodzené číslo. Potom táto náhodná premenná $X$ má Studentovo rozdelenie (alebo t-rozdelenie) s $n$ stupňami voľnosti, pokiaľ jej hustota pravdepodobnosti má nasledovný tvar:

$f_n(x)=\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{n+1}{2})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2})\sqrt{n\pi }}{(1+\frac{x^2}{n})}^{-\frac{n+1}{2}}$

pre $x\in (-\mathrm{\infty };\mathrm{\infty })$. Označenie $\mathrm{\Gamma }(\alpha )$ označuje gama funkciu (ktorá sa tiež nazýva aj Eulerov integrál druhého druhu) a je definovaná nasledovne:

$\mathrm{\Gamma }(\alpha )=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}{x}^{\alpha -1}\mathrm{d}x$

Hustotu pravdepodobnosti môžeme vyjadriť aj pomocou beta funkcie (ktorá sa niekedy nazývaj aj Eulerov integrál prvého druhu), a to nasledovne:

$f_n(x)=\frac{1}{\sqrt{n}B(\frac{1}{2},\frac{n}{2})}{(1+\frac{x^2}{n})}^{-\frac{n+1}{2}}$

Beta funkciu vo vzorci označuje $B(\alpha ,\beta )$ a môžeme ju vyjadriť nasledovne:

$B(\alpha ,\beta )=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}\mathrm{d}x$

Označenie:

• $\mathrm{X}\sim t(n)$
• $\mathrm{X}\sim t_n$

Ďalšie vyjadrenia

Náhodnú premennú $X$, ktorá má Studentovo rozdelenie, môžeme tiež vyjadriť aj pomocou dvoch iných náhodných premenných, z ktorých jedna má normálne rozdelenie a druhá má ${\chi }^2$-rozdelenie, a to nasledovne:

Majme dve náhodné premenné: $Y$ a $Z$, pričom $Y$ má normálne normované rozdelenie a $Z$ má ${\chi }^2$-rozdelenie s $n$ stupňami voľnosti, teda: $\mathrm{Y}\sim N(0,1)$ a $\mathrm{Z}\sim {\chi }^2(n)$, pričom tieto dve náhodné premenné sú nezávislé. Potom náhodná premenná $t$ definovaná vzťahom:

$t=\frac{Y}{\sqrt{\frac{Z}{n}}}$

má Studentovo rozdelenie s $n$ stupňami voľnosti.

Rozdelenie môžeme tiež vyjadriť aj pomocou jedného náhodného výberu z normálneho rozdelenia, a to nasledovne:
Majme náhodný výber $(X_1,...,X_n)$ z normálneho rozdelenia $\mathrm{N}(\mu ,{\sigma }^2)$. Nech $S^2=\frac{1}{n-1}\sum _{j=1}^n(X_j-\overline{X}{)}^2$. Potom náhodná premenná $t$, ktorú definujeme nasledovným vzťahom:

$t=\sqrt{n}\frac{\overline{X}-\mu }{S}$

má Studentovo rozdelenie s $(n-1)$ stupňami voľnosti.

Pokiaľ máme k dispozícii dva nezávislé náhodné výbery z normálneho rozdelenia, môžeme t-rozdelenie vyjadriť aj nasledovne:
Majme dva nezávislé náhodné výbery s rôznymi rozsahmi, teda: $(X_1,...,X_m)$ a $(Y_1,...,Y_n)$ z normálneho rozdelenia, kde náhodný výber $(X_1,...,X_m)$ je z rozdelenia $\mathrm{N}({\mu }_1,{\sigma }^2)$ a náhodný výber $(Y_1,...,Y_n)$ je z rozdelenia $\mathrm{N}({\mu }_2,{\sigma }^2)$ (vidíme, že disperzie sa rovnajú). Ďalej nech $\overline{X}$ a $\overline{Y}$ sú výberové priemery a $S_X^2$ a $S_Y^2$ sú výberové disperzie. Potom náhodná premenná nasledovného tvaru:

$t=\frac{\overline{X}-\overline{Y}-({\mu }_1-{\mu }_2)}{S\sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}}$

má Studentovo rozdelenie s $(m+n-2)$ stupňami voľnosti. Premenná $S$ vystupujúca v danom vzťahu má nasledovné vyjadrenie:

$S=\sqrt{\frac{1}{m+n-2}[(m-1)S_X^2+(n-1)S_Y^2]}$

Vlastnosti

Ako môžeme vidieť z definície tohto rozdelenia, závisí od počtu stupňov voľnosti. Studentovo rozdelenie je symetrické a má jeden vrchol v bode $x=0$. Začiatočné momenty rozdelenia môžeme vyjadriť pomocou všeobecného vzťahu nasledovne:

${\mu }_{2r}=\frac{\mathrm{\Gamma }(r+\frac{1}{2})\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}-r)}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2})}{n}^r$

pre $n=1,2,\cdots$.

Pre strednú hodnotu a disperziu tohto rozdelenia potom platí nasledovné:

• Ak $n>1$, potom: $\mathrm{E}(X)=0$
• Ak $n>2$, potom $\mathrm{D}(X)=\frac{n}{n-2}$

Distribučná funkcia Studentovho rozdelenia má nasledovné vyjadrenie:

$F_X(x)=\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{n}\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2})\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2})}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}{(1+\frac{t^2}{n})}^{-\frac{n+1}{2}}\mathrm{d}x$

Kritická hodnota

Kritické hodnoty sa využívajú pri testovaní štatistických hypotéz a pre Studentovo rozdelenie sú tabelované. Kritickú hodnotu môžeme zadefinovať nasledovne:

Nech $X$ je náhodná premenná, ktorá má Studentovo rozdelenie s $n$ stupňami voľnosti. Potom hodnotu $\mathrm{t}(n,\alpha )$, ktorú náhodná premenná $X$ v absolútnej hodnote presiahne so zvolenou pravdepodobnosťou $\alpha$ nazývame kritickou hodnotou Studentovho rozdelenia. Teda matematicky zapísané:

$P(|X|>t(n,\alpha ))=2P(X>t(n,\alpha ))=2\underset{t(n,\alpha )}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_n(x)\mathrm{d}x=\alpha$

Zdroje

• Šablóna:Citácia knihy
• Šablóna:Citácia knihy
• Šablóna:Citácia knihy
• Šablóna:Citácia knihy
• Šablóna:Citácia knihy
• Šablóna:Preklad