Beta funkcia

Beta funkcia (iné názvy: B-funkcia, funkcia beta, Eulerov integrál prvého druhu) je špeciálny typ funkcie využívaný v matematike.

Definícia

Funkciu definovanú pre $x>0$ a $y>0$ nasledovným predpisom:

$\begin{array}{c}B(x,y)={\mathrm{\int }}_0^1{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}\mathrm{d}t\end{array}$

nazývame beta funkcia alebo Eulerov integrál prvého druhu.

Funkciu beta môžeme definovať aj pomocou gama funkcie, a to nasledovne:

$B(x,y)=\frac{\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)}$

Dôležité vzťahy a vlastnosti

Niektoré dôležité vzťahy a vlastnosti, ktoré platia pre beta funkciu:

• beta funkcia je symetrická, teda:

$\mathrm{B}(x,y)=B(y,x)$

• $B(x,y)=\frac{y-1}{x+y-1}B(x,y-1)$
• $B(x,n)=\frac{(n-1)!}{x(x+1)(x+2)+\cdots +(x+n+1)}$ pre $n=1,2,\cdots$
• $B(x,y)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^{x-1}}{(1+t{)}^{x+y}}\mathrm{d}t$
• $B(x,1-x)=\frac{\pi }{sin(\pi x)}$ pre $x\in (0,1)$

Zdroj

• Šablóna:Citácia knihy