Reciproká rovnica

Reciproká rovnica alebo recipročná rovnica n-tého stupňa prvého, resp. druhého druhu je algebraická rovnica $P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0,a_n\ne 0.$

kde

•  $a_k=a_{n-k},k=0,1,\dots ,n$ je reciproký mnohočlen 1. druhu (kladne reciproký)
•  $a_k=-a_{n-k},k=0,1,\dots ,n$ je reciproký mnohočlen 2. druhu (záporne reciproký)

Pre reciprokú rovnicu je teda charakteristická symetria koeficientov, ide teda vlastne o špeciálny prípad algebrickej rovnice, ktorú vďaka tejto vlastnosti dokážeme riešiť vhodnými substitúciami.

Postup riešenia

• každá reciproká rovnica druhého druhu, nepárneho stupňa má koreň c = 1. Ak ju vydelíme dvojčlenom (x−1), dostaneme reciprokú rovnicu prvého druhu.
• každá reciproká rovnica prvého druhu, nepárneho stupňa má koreň c = −1. Ak ju vydelíme dvojčlenom (x+1), dostaneme reciprokú rovnicu prvého druhu, párneho stupňa.
• reciprokú rovnicu prvého druhu, párneho stupňa n je možné previesť na algebraickú rovnicu polovičného stupňa vydelíme výrazom $x^{\frac{n}{2}}$ a substitúciou:

$y=x+\frac{1}{x}$

$y^2-2=x^2+\frac{1}{x^2}$

$y^3-3y=x^3+\frac{1}{x^3}$

$y^4-4y^2+2=x^4+\frac{1}{x^4}$

Z vyššie uvedených skutočnosti možno ľahko odvodiť, že ak je číslo $c$ riešením reciprokej rovnice, potom aj číslo $1/c$ je jej riešením. V prípade koreňa $c=1$ je to $c=\frac{1}{1}=1$, čo je triviálny prípad.

Príklady reciprokých rovníc

$1)$ $2x^3+3x^2+3x+2=0$

$a_3=2=a_0$

$a_2=3=a_1$

Je to reciproká rovnica prvého druhu tretieho stupňa.

$2)$ $3x^4-5x^3+8x^2-5x+3=0$

$a_4=3=a_0$

$a_3=-5=-a_1$

$a_2=8=-a_2$

Je to reciproká rovnica prvého druhu štvrtého stupňa.

$3)$ $12x^4-25x^3+25x-12=0$

$a_4=12=-a_0$

$a_3=-25=-a_1$

Je to reciproká rovnica druhého druhu štvrtého stupňa.

$4)$ $x^4+x^3+x^2+x+1=0$

$a_4=1=a_0$

$a_3=1=a_1$

$a_2=1=a_2$

Je to reciproká rovnica prvého druhu štvréto stupňa.

$5)$ $12x^4-25x^3+5x^2+25x-12=0$

$a_4=12=-a_0$

$a_3=-25=-a_1$

$a_2=5\ne -a_2$

a teda to nie je reciproká rovnica.

Príklady

Riešte rovnicu $1)$ $4x^4+5x^3+2x^2+5x+4=0$

Ide o reciprokú rovnicu prvého druhu párneho stupňa. Rovnicu vydelíme výrazom $x^2$

$4x^4+5x^3+2x^2+5x+4=0/\cdot \frac{1}{x^2}$

$4x^2+5x+2+5\frac{1}{x}+4\frac{1}{x^2}=0$ | rovnicu si vhodne upravíme

$4(x^2+\frac{1}{x^2})+5(x+\frac{1}{x})+2=0$ | zavedieme substitúcie $y^2-2=x^2+\frac{1}{x^2}$ a $y=x+\frac{1}{x}$

$4(y^2-2)+5y+2=0$

$4y^2-8+5y+2=0$

$4y^2+5y-6=0$

$D=b^2-4ac=5^2-4.4.(-6)=25+96=121$ a teda $y_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-5\pm \sqrt{121}}{8}$=

$y_1=\frac{-5-11}{8}=-\frac{16}{8}=-2$ , $y_2=\frac{-5+11}{8}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$

Spätným dosadením do $y=x+\frac{1}{x}$ dostávame

$-2=x+\frac{1}{x}$ $/\cdot x$

$-2x=x^2+1$

$x^2+2x+1=0$

$(x+1{)}^2=0$

$x_1=-1$ , $x_1$ je teda dvojnásobný koreň.

ďalšie dva korene dostaneme z:

$\frac{3}{4}=x+\frac{1}{x}$

$\frac{3}{4}x=x^2+1$

$x^2-\frac{3}{4}x+1=0$

$D=(-\frac{3}{4}{)}^2-4.1.1=-\frac{55}{16}$ keďže diskriminant je záporný, rovnica $x^2-\frac{3}{4}x+1$ nemá reálne korene a riešením je teda $P=\{-1\}$

Pozri aj

• Kvadratická rovnica

Externé odkazy

• Riešenie sústavy lineárnych rovníc Šablóna:Webarchive Aplikácia, ktorá vypočíta riešenie dvoch a viacerých lineárnych rovníc.
• Riešenie reciprokych rovníc. www.vypocty.sk Šablóna:Webarchive Postup riešenia.