Dvojčlen

Dvojčlen alebo binóm alebo mnohočlen s dvoma členmi je mnohočlen, ktorý má dva členy; súčet dvoch jednočlenov (monómov). Napr. $2b+5ab$. Dvojčleny a vzorce s nimi spojené patria k základným matematickým nástrojom. Dvojčleny nachádzajú uplatnenie v rôznych výpočtoch počnúc kvadratickými rovnicami až po výpočet pravdepodobnosti. S dvojčlenmi súvisia vzorce pre skrátené násobenie, ktoré sa často používajú pri úpravách rôznych algebraických výrazov. V zhode s vyššie uvedenou definíciou sú dvojčleny výrazy $(a+b)$ a $(a-b)$, pričom $a$ a $b$ môžu byť čísla, parametre alebo algebraické výrazy.

Nasledujúci príklad ukazuje, ako rozdielne môžu byť dvojčleny. $(a+b)$, $(4a-9b)$, $(x-3y)$,$(3(7x-5)-2y)$

V príklade $(4a-9b)$ sú oba členy dvojčlenu súčiny, a to $4\cdot a$ (prvý člen dvojčlenu) a $9\cdot c$ (druhý člen dvojčlenu). V poslednom príklade $(3(7x-5)-2y)$ je prvým členom výraz $(3(7x-5)$ a druhým členom je výraz $2y$.

Stupeň dvojčlenu

Stupňom dvojčlenu rozumieme exponent u vonkajších zátvoriek.

$(a+3{)}^2$ , $(4a-9b{)}^2$ , $(3(7x-5)-2y{)}^2$ sú dvojčleny stupňa 2.

$(x-3y{)}^3$ je dvojčlenom stupňa 3.

$(x^2+5y^6{)}^4$ je dvojčlenom stupňa 4.

Dvojčleny druhého stupňa

Vzorce skráteného násobenia uľahčujú počítanie s mnohočlenmi druhého stupňa i stupňov vyšších. Najznámejšie sú vzorce týkajúce sa dvojčlenov druhého stupňa, ktoré pracovne nazveme prvým, druhám a tretím vzorcom. Obecný vzorec pre výpočet dvojčlenu n-t=ho stupňa nachádza uplatnenie vo formulácii a riešení obecnejších matematických problémov. Tri zmienené vzorce:

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ prvý vzorec

$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ druhý vzorec

$(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$ tretí vzorec

Prvé dva vzorce skráteného násobenia sä v zásade vzorcom jediným, stačí v druhom vzorci zapísať výraz $(a-b{)}^2$ v tvare $(a+(-b){)}^2$ a na tento tvar použíť prvý vzorec skráteného nasobenia. Dostávame:

$(a+(-b){)}^2=a^2-2a(-b)+(-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$

Realizácia počtových výkonov obvyklym spôsobom vyjasní, ako uvedené vzorce vznikli:

$(a+b{)}^2$ zápis druhej mocniny ako súčinu

$=(a+b)\cdot (a+b)=$ vynásobenie hodnôt v zátvorkách (roznásobenie zátvoriek)

$=a^2+ab+ab+b^2$ sčítanie odpovedajúcich členov

$=a^2+2ab+b^2$ prvý vzorec

Analogicky pre druhý vzorec:

$(a-b{)}^2$ zápis druhej mocniny ako súčinu

$=(a-b)\cdot (a-b)=$ vynásobenie hodnôt v zátvorkách

$=a^2-ab+ab+b^2$ sčítanie odpovedajúcich členov

$=a^2-2ab+b^2$ druhý vzorec

Tretí vzorec odvodíme následovne:

$(a+b)\cdot (a-b)=$ vynásobenie hodnôt v zátvorkách

$=a^2-ab+ab-b^2=$ sčítanie odpovedajúcich členov

$=a^2-b^2$ tretí vzorec

Porovnanie prvého riadku výpočtu tretieho vzorca s druhými riadkami výpočtu prvého a druhého vzorca ukazuje všetky možné kombinácie znamienok v zátvorkách, ktoré sa môžu vyskytnúť.

Dvojčleny vyšších stupňov

$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$

$(a+b{)}^4=a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4$

Vyššie uvedené vzorce odvodíme podobne ako prví až tretí vzorec. O výraze na pravej strane uvedených rovností hovoríme ako o rozvoji dvojčlenu.

Činitele pred jednotlivými výrazmi $a^4$,$a^{3}b$,$a^2{b}^2$, $a{b}^3$, $b^4$ (jednočleny) nazývame binomické koeficienty (koeficienty dvojčlenu, napr. koeficient $1$ pred $a^4$, koeficient $4$ pred $a^{3}b$ a pod.

Ak zapíšeme rozvoj dvojčlena $(a+b{)}^4$ so všetkými exponentami členov $a$ a $b$, dostávame

$(a+b{)}^4=a^4{b}^0+4a^3{b}^1+6a^2{b}^2+4a^1{b}^3+a^0{b}^4$

Všimnite si:

1. Najvyšší exponent základu $a$ i $b$ je rovný stupni dvojčlenu, v tomto prípade $4$.

2. Exponent základu $a$ sa v každom nasledujúcom sčítanci znižuje o $1$, od $4$ v prvom sčítanci až na $0$ v poslednom sčítanci.

3. Exponent základu $b$ sa v každom nasledujúcom sčítanci zvyšuje o $1$, od $0$ v prvom sčítanci až na $4$ v sčítanci poslednom.

Vzorce pre dvojčleny $(a+b{)}^n$ dostaneme tak, že člen b nahradíme výrazom $(-b)$. Pre dvojčlen tretieho stupňa dostávame

$(a-b{)}^3=(a+(-b){)}^3=a^3+3a^2(-b)+3a(-b{)}^2+(-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$

Podobne v prípade dvojčlena štvrtého stupňa

$(a-b{)}^4=(a+(-b){)}^4=a^4+4a^3(-b)+6a^2(-b{)}^2+4a(-b{)}^3+(-b{)}^4=a^4-4a^{3}b+6a^2{b}^2-4a{b}^3+b^4$

Všimnime si, že členy obsahujúce nepárne mocniny základu (-b) majú záporné koeficienty, takže sa odčítajú.

Pozri aj

• Binomická veta
• Jednočlen