Mnohočlen

Mnohočlen alebo polynóm je súčet alebo rozdiel jednočlenov.

Je to výraz v tvare

$p(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n$,

kde $a_n\ne 0$. Čísla $a_0,a_1,...,a_n$ sa nazývajú koeficienty polynómu.

Funkciu $P$ dvoch premenných $x\in R,y\in R$ označíme ako polynóm, ak existujú prirodzené čísla $n,m$ a konštanty $a_{ij}$ také, že platí

$P(x,y)=\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^m{a}_{ij}{x}^i{y}^j$

Stupeň polynómu

Stupeň polynómu p(x) je najvyšší exponent x s nenulovým koeficientom. Nulový polynóm p(x) = 0 sa niekedy označuje ako polynóm stupňa −1. Stupeň polynómu sa niekedy označuje deg p(x).

Súčin a súčet polynómov

Nech sú dané polynómy v zmysle vyššie uvedenej definície: $p(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n$ $g(x)=\sum _{i=0}^n{b}_i{x}^i=b_0+b_{1}x+b_2{x}^2+\cdots +b_n{x}^n$

Súčet polynómov je definovaný (pre $n\le m$) $f(x)+g(x)=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)+...+(a_n+b_n)x^n+b_{n+1}{x}^{n+1}+...+b_m{x}^m$,

Súčin polynómov je definovaný $f(x)g(x)=a_0{b}_0+(a_0{b}_1+a_1{b}_0)x+(a_0{b}_2+a_1{b}_1+a_2{b}_0)x^2+...+a_n{b}_m{x}^{n+m}=\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^m{a}_j{b}_j{x}^{i+j}$

Koreň polynómu

Číslo $\alpha$ sa nazýva koreň polynómu $p(x)$, ak platí

$p(\alpha )=0$

Táto skutočnosť, spoločne so základnou vetou algebry, sa využíva pri riešení algebraických rovníc.

Léma

Nech $c$ je číslo a nech $z$ je zvyšok po delení $f(x)$ polynómom $x-c$. Potom $z=f(c)$.

Dôsledok

Polynóm $f(x)$ je delitelný polynómom $x-c$ práve vtedy, keď $c$ je koreň polynómu $f(x)$.

Príklady polynómov

• $p(x)=0$ je tzv. nulový polynóm, teda polynóm, ktorý má všetky koeficienty nulové, čiže $a_i=0,i=0,1,2,...$
• $p(x)=4$ je polynóm nultého stupňa (konštanta)
• $p(x)=2x+3$ je polynóm 1. stupňa (lineárny polynóm)
• $p(x)=3x^2+2x-2$ je polynóm 2. stupňa (kvadratický polynóm)
• $p(x)=3x^3-8x$ je polynóm 3. stupňa (kubický polynóm)

Externé odkazy

• Kalkulačka pre výpočet reálnych koreňov polynómu