Portál:Matematika/Odporúčaný článok/51 2011

Gramov-Schmidtov ortogonalizačný proces (iné názvy: Gramov-Schmidtov proces ortogonalizácie, Gramova-Schmidtova ortogonalizácia) je proces, ktorým z množiny lineárne nezávislých vektorov priestoru vytvárame jeho ortonormálnu bázu. Ortonormálna báza sa vyznačuje vlastnosťou, že jej vektory majú normovanú jednotkovú dĺžku a navzájom sú ortogonálne. Vektorový priestor dimenzie n môže byť všeobecne generovaný ľubovoľnou n-ticou lineárne nezávislých vektorov. Tieto však majú rôznu orientáciu a nejednotnú dĺžku (normu). Na odstránenie respektíve normalizáciu sa využíva práve spomínaný Gram-Schimdtov ortogonalizačný proces.

Postup ortogonalizácie

V prvom kroku Gramovho-Schmidtovho ortogonalizačného procesu sa pokladá za základ prvý vektor z množiny vektorov, ktoré normalizujeme. Podľa tohto vektora sa odvíja orientácia zvyšných. Ďalším krokom je samotná ortogonalizácia vektorov, a nakoniec normalizácia vektorov. Pre zjednodušenie výpočtov sa vektory normalizujú až na koniec procesu. Tento proces možno popísať ako rekurentný proces.

Vlastnosti a vzťahy

Nech $ℳ=\text{span}({𝐱}_1,{𝐱}_2,\cdots ,{𝐱}_n)$ je vektorový priestor, ktorý je generovaný lineárne nezávislými vektormi ${𝐱}_1,{𝐱}_2,\cdots ,{𝐱}_n$. To, že vektory sú lineárne nezávislé znamená, že existuje len triviálna nulová kombinácia koeficientov $c_1,c_2,\cdots ,c_n$, že systém $𝐗𝐜=0$ má riešenie. Hľadáme také vektory ${𝐲}_1,{𝐲}_2,\cdots ,{𝐲}_n$ s vlastnosťou

$({𝐪}_i,{𝐪}_j)=\{\begin{array}{cc}1;& i=j\\ 0;& i\ne j\end{array}$

Odtiaľ vyplýva, že vektory musia byť ortogonálne a musia mať jednotkovú dĺžku. Tieto už budú priamo tvoriť bázu konkrétneho vektorového priestoru.

Celý článok...