Poissonovo rozdelenie

Graf troch pravdepodobnostných funkcií Poissonovho rozdelenia pre λ = 1, 4 a 10. Na vodorovnej osi je počet výskytov udalosti (k), λ je očakávaná miera výskytu. Na zvislej osi je pravdepodobnosť, že pozorovaný počet výskytov (x) zodpovedá k. Funkcia je definovaná len pre celočíselné hodnoty k; spojitá čiara je len pre ilustráciu priebehu.

Poissonovo rozdelenie alebo Poissonovo pravdepodobnostné rozdelenie je v teórii pravdepodobnosti a štatistike diskrétne rozdelenie pravdepodobnosti, ktoré môžeme interpretovať ako rozdelenie pravdepodobnosti výskytu zriedkavých udalostí v sérii veľkého počtu $n$ nezávislých pokusov. Patrí k pravostranne zošikmeným rozdeleniam.

Poissonovo rozdelenie sa často používa ako aproximácia binomického rozdelenia pre veľký počet pokusov, teda pre $n\to \mathrm{\infty }$, a malú pravdepodobnosť výskytu sledovaného javu v jednom pokuse, teda pre $p\to 0$. V takomto prípade sa stredná hodnota binomického rozdelenia rovná parametru $\lambda$.

Rozdelenie je pomenované podľa francúzskeho fyzika a matematika Siméona Denisa Poissona. Poissonovo rozdelenie má veľmi výhodné vlastnosti, a práve preto sa často používa pri modelovaní počtu poistných plnení v životnom aj neživotnom poistení.

Definícia

Diskrétna náhodná premenná $X$ má Poissonovo rozdelenie s parametrom $\lambda >0$, ak nadobúda hodnoty $k=0,1,2,k...$ s pravdepodobnosťami $p_0$, $p_1$, $p_2$, ..., pričom pre tieto platí nasledovný vzťah:

$p_k=P(X=k)=\frac{{\lambda }^k}{k!}{\mathrm{e}}^{-\lambda }$

Označujeme:

• $\mathrm{X}\sim Poi(\lambda )$
• $\mathrm{X}\sim Po(\lambda )$
• $\mathrm{X}\sim Pois(\lambda )$

Základné charakteristiky rozdelenia

• Stredná hodnota:

$\mathrm{E}(X)=\lambda$

• Rozptyl:

$\mathrm{D}(X)=\lambda$

• Koeficient šikmosti:

${\gamma }_1=\frac{1}{\sqrt{\lambda }}$

• Koeficient špicatosti:

${\gamma }_2=\frac{1}{\lambda }$

• Momentová vytvárajúca funkcia:

$m(z)={\mathrm{e}}^{\lambda ({\mathrm{e}}^z-1)}$

Zdroje

• Šablóna:Citácia knihy
• Šablóna:Citácia knihy
• Šablóna:Citácia knihy
• Šablóna:Preklad