Maxwellove rovnice

Maxwellove rovnice sú základné zákony v makroskopickej teórii elektromagnetického poľa, ktoré sformuloval James Clerk Maxwell v roku 1865. Možno ich zapísať buď v integrálnom alebo diferenciálnom tvare. V integrálnom tvare opisujú elektromagnetické pole v istej oblasti a v diferenciálnom tvare v určitom bode tejto oblasti.

Formulácia Maxwellových rovníc

Nižšie uvedený zápis je platný v jednotkách sústavy SI. V iných sústavách sa v zápise objavujú navyše konštanty ako napr. rýchlosť svetla c a $4\pi$ (Ludolfovo číslo) v sústave CGS.

Prvá Maxwellova rovnica (zákon celkového prúdu, zovšeobecnený Ampérov zákon)

integrálny tvar

${\oint }_c𝐇\cdot \mathrm{d}𝐥=I+\frac{\mathrm{d}\mathrm{\Psi }}{\mathrm{d}t},$$\mathrm{\Psi }\equiv \underset{S}{\int }𝐃\cdot \mathrm{d}𝐒,$ $I=\underset{S}{\int }𝐣\cdot \mathrm{d}𝐒.$

Cirkulácia vektoru H po ľubovolnej orientovanej uzavretej krivke c je rovná súčtu celkového vodivého prúdu I a posuvného prúdu $\frac{\mathrm{d}\mathrm{\Psi }}{\mathrm{d}t}$, uzavretého krivkou c, Krivka c a ľubovolná plocha S, ktorú krivka vymedzuje sú navzájom pravotočivo orientované.

diferenciálny tvar

$\mathrm{\nabla }\times 𝐇=𝐣+\frac{\partial 𝐃}{\partial t}.$

Rotácia vektoru intenzity magnetického poľa H je rovná hustote vodivého prúdu j a hustote posuvného (Maxwellovho) prúdu $\frac{\partial 𝐃}{\partial t}.$

Druhá Maxwellova rovnica (Zákon elektromagnetickej indukcie, Faradayov indukčný zákon)

integrálny tvar

${\oint }_c𝐄\cdot \mathrm{d}𝐥=-\frac{\mathrm{d}\mathrm{\Phi }}{\mathrm{d}t},$$\mathrm{\Phi }\equiv \underset{S}{\int }𝐁\cdot \mathrm{d}𝐒.$

Cirkulácia vektoru E po ľubovolnej orientovanej uzavretej krivke c je rovná záporne vzatej časovej derivácii magnetického indukčného toku prechádzajúceho plochou S, ktorá je ohraničená krivkou c. Krivka c a ľubovolná plocha S, ktorú krivka obopína, sú vzájomne orientované pravotočivo.

diferenciálny tvar

$\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}.$

Rotácia vektoru intenzity elektrického poľa E je rovná záporne vzatej časovej derivácii magnetickej indukcie B .

Tretia Maxwellova rovnica (Gaussov zákon elektrostatiky)

integrálny tvar

${\oint }_S𝐃\cdot \mathrm{d}𝐒=Q,$$Q=\underset{V}{\int }\rho \mathrm{d}V.$

Elektrický indukčný tok ľubovoľnou von orientovanou plochou S je rovný celkovému voľnému náboju v priestorovej oblasti V ohraničenej plochou S.

diferenciálny tvar

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐃=\rho .$

Divergencia vektoru elektrickej indukcie D je rovná objemovej hustote voľného náboja ρ. Ekvivalentná formulácia: siločiary elektrickej indukcie začínajú alebo končia tam, kde je prítomný elektrický náboj.

Štvrtá Maxwellova rovnica (Zákon spojitosti magnetického indukčného toku)

integrálny tvar

${\oint }_S𝐁\cdot \mathrm{d}𝐒=0.$

Magnetický indukčný tok ľubovolnou uzavrenou orientovanou plochou S je rovný nule.

diferenciálny tvar

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁=0.$

Divergencia vektoru magnetickej indukcie B je rovná nule. Ekvivalentná formulácia: neexistujú magnetické monopóly (neexistujú magnetické náboje).

Fyzikálne premenné použité v Maxwellových rovniciach zhŕňa nasledujúca tabuľka

Označenie	Význam	Jednotka SI
$𝐄$	intenzita elektrického poľa	V/m
$𝐇$	intenzita magnetického poľa	A/m
$𝐃$	elektrická indukcia	C/m²
$𝐁$	magnetická indukcia	T
$\rho$	hustota voľného náboja	C/m³
$𝐣$	hustota prúdu	A/m²

Materiálové vzťahy pre materiály s lineárnou závislosťou

Pre širokú triedu materiálov možno predpokladať, že sú veličiny hustota polarizácie P (C/m²) a hustota magnetizácie M (A/m) vyjadrené ako:

$𝐏={\chi }_e{\epsilon }_0𝐄$

$𝐌={\chi }_m𝐇$

a že pole D a B sú s E a H sú zviazané vzťahmi:

$𝐃={\epsilon }_0𝐄+𝐏=(1+{\chi }_e){\epsilon }_0𝐄=\epsilon 𝐄$

$𝐁={\mu }_0(𝐇+𝐌)=(1+{\chi }_m){\mu }_0𝐇=\mu 𝐇,$

kde:

${\chi }_e$ je elektrická susceptibilita materiálu,

${\chi }_m$ je magnetická susceptibilita materiálu,

ε je elektrická permitivita materiálu a

μ je magnetická permeabilita materiálu

V nedisperznom izotropnom prostredí sú ε a μ skaláry nezávislé od času, takže Maxwellove rovnice prejdú na tvar:

$\mathrm{\nabla }\cdot \epsilon 𝐄=\rho$

$\mathrm{\nabla }\cdot \mu 𝐇=0$

$\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\mu \frac{\partial 𝐇}{\partial t}$

$\mathrm{\nabla }\times 𝐇=𝐣+\epsilon \frac{\partial 𝐄}{\partial t}$

V homogénnom prostredí sú ε a μ konštanty nezávislé od polohy a možno teda ich polohu zameniť s parciálnymi deriváciami podľa súradníc.

Všeobecne môžu byť ε a μ tenzormi druhého stupňa, ktoré potom odpovedajú popisu dvojlomových (anizotropných) materiálov. Nehľadiac na tieto priblíženia však každý reálny materiál vykazuje istú materiálovú disperziu, kvôli ktorej ε alebo μ závisí na frekvencii.

Pre väčšinu typov vodičov platí medzi prúdom a elektrickou intenzitou Ohmov zákon v tvare

$𝐣=\gamma 𝐄,$

kde γ je merná vodivosť daného materiálu.

Maxwellove rovnice ako vlnové rovnice potenciálov

Ekvivalentne (a často s výhodou) možno vyjadriť Maxwellove rovnice pomocou skalárneho a vektorového potenciálu $\mathrm{\Phi }$ a $\overrightarrow{A}$, ktoré sú definované tak, aby platilo

$\overrightarrow{B}=\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{A}$

$\overrightarrow{E}=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }-\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t}.$

$\overrightarrow{E}$ a $\overrightarrow{B}$ sa pritom nezmenia, ak od potenciálu $\mathrm{\Phi }$ odčítame ľubovolnú $\frac{\partial \xi }{\partial t}$, alebo k $\overrightarrow{A}$ pričítame $\mathrm{\nabla }\xi$, kde $\xi$ je ľubovolná skalárna funkcia. Preto pre jednoduchosť výsledných rovníc môžeme navyše zvoliť tzv. Lorentzovu kalibračnú podmienku

$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{A}+\epsilon \mu \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial t}=0.$

Maxwellove rovnice potom majú tvar vlnových rovníc v časopriestore

$◻\mathrm{\Phi }=-\frac{\rho }{\epsilon },$

$◻\overrightarrow{A}=-\mu \overrightarrow{j},$

kde $◻$ je d’Alembertov operátor.

V špeciálnej teórii relativity tvorí elektrický a magnetická potenciál dohromady štvorvektor nazývaný štvorptenciál $A^{\nu }.$ D'Alembertov operátor je tiež možné zobecniť na štvorvektory. V tomto formalizme (a s predpokladom Lorenzovej podmienky) sa dajú všetky Maxwellove rovnice napísať pomocou jednej nehomogénnej vlnovej rovnici

$◻A^{\nu }=-\mu J^{\nu },$

kde $J^{\nu }$je elektrický štvorprúd a $\mu$ je permeabilita. Vo vákuu je štvorprúd nulový, takže rovnica sa stane homogénnou a jej riešenie zodpovedá šíreniu elektromagnetických vĺn.

Zdroj

• Šablóna:Preklad