Logaritmus

Graf prirodzeného logaritmu y=log_e x, inak zapísané y = ln x

Logaritmus alebo logaritmická funkcia (pri základe a) je inverznou funkciou k exponenciálnej funkcii (s tým istým základom).

Logaritmom čísla x pri základe a teda nazývame v matematike také číslo y, pre ktoré platí:

$x=a^y$

a označujeme ho symbolicky

$y={\log }_{a}x$,

kde a > 0, a ≠ 1, x > 0. Funkciu

$y={\log }_{a}x$

kde x > 0, potom nazývame logaritmickou funkciou so základom a. Definičný obor funkcie je interval $(0;\mathrm{\infty })$, obor hodnôt tvoria všetky reálne čísla.

Funkcia je:

• klesajúca, ak $a\in (0,1)$
• rastúca, ak $a\in (1,\mathrm{\infty })$

Graf logaritmickej funkcie nazývame logaritmická krivka; prechádza bodmi $[1;0]$ a $[a;1]$.

Konštanta a sa nazýva základ logaritmu. Logaritmus o základe 10 sa nazýva dekadický logaritmus' (prípadne desiatkový, alebo Briggsov podľa matematika Henryho Briggsa). V prípade dekadického logaritmu sa v zápise vynecháva základ a zapisuje sa ako

$y=\log x$

Ďalším (v matematike pravdepodobne najpoužívanejším) prípadom je logaritmus o základe e (Eulerovo číslo). Tento sa nazýva prirodzený logaritmus (niekedy tiež Napierov podľa matematika Johna Napiera) a používa sa skrátený zápis

$y=\ln x$

Hlavne v informatike sa objavuje logaritmus o základe 2, nazývaný binárny logaritmus, ktorý sa skrátene zapisuje:

$y=\lg x$

Logaritmus so základom $b$ je možné konvertovať na logaritmus so základom $x$ podľa vzorca

${\log }_b(a)=\frac{{\log }_x(a)}{{\log }_x(b)}$

alebo

${\log }_{b}a\times {\log }_{c}b={\log }_{c}a$.

Špeciálne základy

Prirodzený logaritmus

Graf prirodzeného logaritmu y = ln x (zelená línia)

Prirodzený logaritmus alebo Napierov logaritmus (podľa Johna Napiera) je taký logaritmus, ktorý ma základ e (Eulerovo číslo).

Skrátený zápis:

$y=\ln x$

Niekde sa môžete stretnúť aj so zápisom

$y={\ln }_{e}x$

alebo

$y={\log }_{e}x$

Taylorove rady pre výpočet prirodzeného logaritmu

• $\ln x=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{i+1}\frac{(x-1{)}^i}{i}\text{ pre }0<x\le 2$
• $\ln x=2\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2i-1}{\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}^{2i-1}\text{ pre }x>0$
• $\ln x=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{i}{\left(\frac{x-1}{x}\right)}^i\text{ pre }x\ge \frac{1}{2}$

Desiatkový, dekadický logaritmus

Desiatkový logaritmus je logaritmus so základom desať. Zapisuje sa zvyčajne ako $y={\log }_{10}x$ alebo skrátene ako $y=\log x$.

Dvojkový, binárny logaritmus

Dvojkový logaritmus je logaritmus so základom dva. Zapisuje sa ako $y={\log }_{2}x$ alebo skrátene $y=\text{lg }x$.

Vlastnosti

Pre $a,x,y>0,a\ne 1,r\in ℝ$ platí:

• ${\log }_a{a}^x=a^{{\log }_{a}x}=x,$ (logaritmus je inverznou funkciou k exponenciálnej funkcii s rovnakým základom)

• ${\log }_{a}x+{\log }_{a}y={\log }_{a}xy,$

• ${\log }_{a}x-{\log }_{a}y={\log }_a\frac{x}{y}$

• ${\log }_a{x}^r=r{\log }_{a}x$

• ${\log }_{a}x=\frac{{\log }_{b}x}{{\log }_{b}a}$, kde $b>0,b\ne 1$
• ${\log }_{b}b=1$
• ${\log }_{b}1=0$
• ${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$
• $a^{{\log }_{b}x}=x^{{\log }_{b}a}$
• ${\log }_{b}a={\log }_{b}c⟹a=c$

Externé odkazy

• Logaritmická funkcia