Iversonove zátvorky

V matematike sú Iversonove zátvorky, pomenované podľa informatika Kennetha. E. Iversona, spôsob notácie, ktorý zovšeobecňuje Kroneckerovu deltu. Táto funkcia zobrazuje akýkoľvek výrok na hodnoty 0 alebo 1. Štandardne sú Iversonove zátvorky označované hranatými zátvorkami $[\cdot ]$ a definované sú pre výrokové tvrdenie nasledovne:

$[P]=\{\begin{array}{cc}1& \text{ak }P\text{ je pravdivé;}\\ 0& \text{ak }P\text{ je nepravdivé.}\end{array}$

Iversenove zátvorky umožňujú zápis sumácie bez obmedzenia na sčítací index. Presnejšie, pre ľubovoľný výrok $P(k)$ závislí od celého čísla $k$ sa suma $\sum _{k:P(k)}f(k)$ môže zapísať ako $\sum _{k}f(k)\cdot [P(k)]$. V tejto konvencii nemusí byť $f(k)$ definované pre všetky celé čísla $k$ kde sa Iversonova zátvorka rovná nule. Výraz $f(k)[\mathbf{\text{nepravda}}]$ musí byť rovný nule, bez ohľadu na to, či je pre dané $k$ výraz $f(k)$ definovaný alebo nie.

Vlastnosti

Medzi aritmetikou s Iversonovými zátvorkami, logikou a množinovými operáciami existuje priamy súvis. Nech $A\text{ a }B$ sú množiny, $P(k_1,\dots )$ ľubovoľná vlastnosť celých čísel, potom máme

$\begin{array}{cc}[][P\wedge Q]& =[P][Q];\\ [P\vee Q]& =[P]+[Q]-[P][Q];\\ [\mathrm{\neg }P]& =1-[P];\\ [k\in A]+[k\in B]& =[k\in A\cup B]+[k\in A\cap B];\\ [x\in A\cap B]& =[x\in A][x\in B];\\ [\mathrm{\forall }m:P(k,m)]& =\prod _m[P(k,m)];\\ [\mathrm{\exists }m:P(k,m)]& =\min \{1,\sum _m[P(k,m)]\}=1-\prod _m[\mathrm{\neg }P(k,m)];\\ \mathrm{\#}\left\{m\right|P(k,m)\}& =\sum _m[P(k,m)].\end{array}$

Príklady použitia

Notácia umožňuje algebrickú manipuláciu súm s rôznymi hodnotami sumačného indexu.

Algebrická manipulácia súm

Známe pravidlo ${\sum }_{j=1}^n{\sum }_{k=1}^{j}f(j,k)={\sum }_{k=1}^n{\sum }_{j=k}^{n}f(j,k)$ triviálne odvodíme:

$\begin{array}{cc}\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^{j}f(j,k)& =\sum _{j,k}f(j,k)[1\le j\le n][1\le k\le j]\\ & =\sum _{j,k}f(j,k)[1\le k\le j\le n]\\ & =\sum _{j,k}f(j,k)[1\le k\le n][k\le j\le n]\\ & =\sum _{k=1}^n\sum _{j=k}^{n}f(j,k).\end{array}$

Mechanicky odvodíme ďalšie notoricky známe pravidlo sumácie:

$\begin{array}{cc}\sum _{k\in A}f(k)+\sum _{k\in B}f(k)& =\sum _{k}f(k)[k\in A]+\sum _{k}f(k)[k\in B]\\ & =\sum _{k}f(k)([k\in A]+[k\in B])\\ & =\sum _{k}f(k)([k\in A\cup B]+[k\in A\cap B])\\ & =\sum _{k\in A\cup B}f(k)+\sum _{k\in A\cap B}f(k).\end{array}$

Známe funkcie vyjadrené pomocou Iversonovych zátvoriek

Kroneckerova delta ${\delta }_{ij}$ je špeciálnym prípadom Iversonovych zátvoriek pre prípad, kde uvažovaným výrokom je rovnosť:

${\delta }_{ij}=[i=j].$

Iversonove zátvorky teda môžeme považovať ako zovšeobecnením Kroneckerovej delty.

Heavisideova funkcia, signum a absolútna hodnota môžu byť jednoducho vyjadrené v Iversonovej notácii:

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Theta }(x)& =[x\ge 0],\\ \mathrm{sgn}(x)& =[x>0]-[x<0],\\ |x|& =x([x>0]-[x<0]).\end{array}$

Variácie označenia

Popri štandardnej notácii $[\cdot ]$ a originálnej notácii $(\cdot )$ sa používa aj verzia hranatých zátvoriek v tabuľovej hrubotlači ⟦ · ⟧.